Determine:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício apresenta quatro funções diferentes, cada uma com um ponto específico
e um vetor de direção
. O que precisamos fazer é encontrar a derivada direcional de cada função no ponto dado na direção do vetor
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos mostra a taxa de variação de uma função na direção de um vetor específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada direcional. A derivada direcional de uma função
no ponto
na direção do vetor
é dada pela seguinte fórmula:
Aqui,
é o gradiente da função
no ponto
, e
representa o produto escalar entre o gradiente e o vetor
.
Passo 3
Vamos aplicar isso para cada função apresentada:
1. Função
, ponto
, vetor
a) Calculando o gradiente
:
As derivadas parciais são:
No ponto
:
Então,
.
b) Calculando a derivada direcional:
Passo 4
2. Função
, ponto
, vetor
a) Calculando o gradiente
:
As derivadas parciais são:
No ponto
:
-
(pois ) -
Então,
.
b) Calculando a derivada direcional:
Passo 5
3. Função
, ponto
, vetor
a) Calculando o gradiente
:
As derivadas parciais são:
No ponto
:
Então,
.
b) Calculando a derivada direcional:
Passo 6
4. Função
, ponto
, vetor
a) Calculando o gradiente
:
Primeiro, simplificamos
:
As derivadas parciais são:
No ponto
:
Então,
.
b) Calculando a derivada direcional:
Resposta
As derivadas direcionais das funções nos pontos e direções dadas são:
Exercícios relacionados
Em cada item, esboce a região do plano cujos pontos satisfazem as condições dadas.
.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem:
Calcule os limites: