Determine:
& f(x, y)=x / y, P(2,1), u=35 i+45 j & f(x, y)=x^2 ln y, P(3,1), u=-513 i+1213 j & f(x, y, z)=x e^2 y z, P(3,0,2), u=lang<=23,-23, 13rang<= & f(x, y, z)=raizx+y z, P(1,3,1), u=lang<=27, 37, 67rang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta quatro funções diferentes, cada uma com um ponto específico e um vetor de direção . O que precisamos fazer é encontrar a derivada direcional de cada função no ponto dado na direção do vetor . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos mostra a taxa de variação de uma função na direção de um vetor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada direcional. A derivada direcional de uma função Duf(P) = nabla f(P) cdot u no ponto na direção do vetor é dada pela seguinte fórmula:
Aqui, é o gradiente da função no ponto , e representa o produto escalar entre o gradiente e o vetor .

Passo 3

Vamos aplicar isso para cada função apresentada:

1. Função Duf(P) = (1)(35) + (-2)(45) = 35 - 85 = -55 = -1 , ponto , vetor

a) Calculando o gradiente :
As derivadas parciais são:
No ponto :
Então, .
b) Calculando a derivada direcional:

Passo 4

2. Função Duf(P) = (0)( -513 ) + (9)( 1213 ) = 0 + 10813 = 10813 approx 8.31 , ponto , vetor

a) Calculando o gradiente :
As derivadas parciais são:
No ponto :
  • (pois )
Então, .
b) Calculando a derivada direcional:

Passo 5

3. Função Duf(P) = (1)( 23 ) + (12)( -23 ) + (0)( 13 ) = 23 - 8 + 0 = -223 approx -7.33 , ponto , vetor

a) Calculando o gradiente :
As derivadas parciais são:
No ponto :
Então, .
b) Calculando a derivada direcional:

Passo 6

4. Função Duf(P) = ( 14 )( 27 ) + ( 14 )( 37 ) + ( 34 )( 67 ) = 228 + 328 + 1828 = 2328 approx 0.82 , ponto , vetor

a) Calculando o gradiente :
Primeiro, simplificamos :
As derivadas parciais são:
No ponto :
Então, .
b) Calculando a derivada direcional:

Resposta

As derivadas direcionais das funções nos pontos e direções dadas são:

Exercícios relacionados

Em cada item, esboce a região do plano cujos pontos satisfazem as condições dadas.
0 <= theta <= pi/4.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem:
u = t e^(w / t)
lim (x, y) (-3,1) x^2 y-x y^3x-y+2
Calcule os limites: lim x -infty raiz4 x^6+5 x^3-108 x^3-2 x+3