Calcule os limites:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de uma expressão complicada quando vai para menos infinito. O conteúdo que vamos usar aqui envolve limites, potências e radicais (raízes). Precisamos entender como cada parte da expressão se comporta quando fica muito grande negativamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as raízes usando expoentes para facilitar a manipulação:
E:
raiz[raiz[3]3]x^3 + 2 = (x^3 + 2)^1/raiz[3]3
Sabemos que raizraiz[3]x^3 - 2 = (raiz[3]x^3 - 2)^1/2 para qualquer número real (x^3 + 2)^1/raiz[3]3 - (x - 2)^1/2 . Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando (x^3)^1/raiz[3]3 = x^3/raiz[3]3 vai para menos infinito:
  1. Primeiro termo: 3/raiz[3]3 = 3^2/3
    Para |x|^1/2 = (-x)^1/2 muito grande negativamente, domina, então . Assim:
    Sabendo que , temos:
    Então, . Como é aproximadamente 2.08, esse termo cresce muito rapidamente em magnitude (fica muito grande negativamente).
  2. Segundo termo:
    Para negativo e muito grande, ainda é negativo. A raiz quadrada de um número negativo não é um número real, mas para propósitos de limite, podemos considerar apenas a magnitude:
    Esse termo cresce, mas de forma muito mais lenta comparado ao primeiro termo.

Passo 4

Comparando os dois termos:
  • O primeiro termo cresce como (muito rápido).
  • O segundo termo cresce como (bem mais lento).
Isso significa que, à medida que vai para menos infinito, o primeiro termo domina e o segundo termo se torna insignificante em comparação.

Resposta

Portanto, o limite é:

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