Beleza, vamos resolver essa equação de onda que você me mandou. A gente tem a equação diferencial parcial:
a^2 partial^2 upartial x^2 = partial^2 upartial t^2, 0 < x < L, t > 0
Além disso, temos algumas condições de contorno e iniciais:
Condições de contorno:
u(0, t) = u(L, t) = 0
Condições iniciais:
u(x, 0) = 0
partial upartial t|t=0 = x(L - x)
Vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para resolver essa equação. Vamos passo a passo entender como aplicar esses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução u(x, t) = X(x)T(t) pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende só de a^2 X''(x) T(t) = X(x) T''(t) e outra que depende só de X''(x)X(x) = T''(t)a^2 T(t) = -lambda :
X''(x) + lambda X(x) = 0
Substituindo isso na equação da onda, temos:
T''(t) + a^2 lambda T(t) = 0
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos leva a duas equações ordinárias:
Para :
Para :
Passo 3
Vamos resolver a equação para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
Xn(x) = sin(npi xL)
Com as condições de contorno lambdan = (npiL)^2, n = 1, 2, 3, dots , estamos lidando com uma equação de Sturm-Liouville. As soluções não triviais acontecem apenas para valores específicos de , chamados de autovalores.
As soluções para são:
E os autovalores correspondentes são:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação para T''(t) + a^2 lambdan T(t) = 0 usando os autovalores encontrados:
T''(t) + (a n piL)^2 T(t) = 0
Substituindo Tn(t) = An cos(a n pi tL) + Bn sin(a n pi tL) :
As soluções são combinações de cossenos e senos:
Passo 5
Então, a solução geral da equação da onda é uma soma de todas essas soluções:
u(x, t) = sumn=1^infty [ An cos(a n pi tL) + Bn sin(a n pi tL) ] sin(npi xL)
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os coeficientes e .
Passo 6
Primeiro, aplicamos a condição inicial u(x, 0) = sumn=1^infty An sin(npi xL) = 0 :
Como as funções são ortogonais, temos que todos os .
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial para a derivada em relação ao tempo:
partial upartial t|t=0 = sumn=1^infty a n piL Bn sin(npi xL) = x(L - x)
Precisamos encontrar os Bn = 2L integral0^L x(L - x) sin(npi xL) dx que satisfaçam essa igualdade. Usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para funções de seno:
Passo 8
Vamos calcular a integral para encontrar Bn = 2L integral0^L x(L - x) sin(npi xL) dx :
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando tabelas de integrais. Após resolver, obtemos os valores de .
Passo 9
Finalmente, substituímos os coeficientes u(x, t) = sumn=1^infty [ 2a n pi integral0^L x(L - x) sin(npi xL) dx ] sin(npi xL) sin(a n pi tL) na solução geral:
Resposta
A solução da equação de onda dada, sujeita às condições de contorno e iniciais fornecidas, é:
u(x, t) = sumn=1^infty [ 2a n pi integral0^L x(L - x) sin(npi xL) dx ] sin(npi xL) sin(a n pi tL)
Essa expressão representa a deformação da corda ao longo do tempo e do espaço, composta pela soma de modos harmônicos com amplitudes determinadas pelos coeficientes .