Beleza, vamos resolver essa equação de onda que você me mandou. A gente tem a equação diferencial parcial:
Além disso, temos algumas condições de contorno e iniciais:
Condições de contorno:
Condições iniciais:
Vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para resolver essa equação. Vamos passo a passo entender como aplicar esses conceitos.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :
Substituindo isso na equação da onda, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos leva a duas equações ordinárias:
Para :
Para :
Passo 3
Vamos resolver a equação para :
Com as condições de contorno , estamos lidando com uma equação de Sturm-Liouville. As soluções não triviais acontecem apenas para valores específicos de , chamados de autovalores.
As soluções para são:
E os autovalores correspondentes são:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação para usando os autovalores encontrados:
Substituindo :
As soluções são combinações de cossenos e senos:
Passo 5
Então, a solução geral da equação da onda é uma soma de todas essas soluções:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os coeficientes e .
Passo 6
Primeiro, aplicamos a condição inicial :
Como as funções são ortogonais, temos que todos os .
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial para a derivada em relação ao tempo:
Precisamos encontrar os que satisfaçam essa igualdade. Usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para funções de seno:
Passo 8
Vamos calcular a integral para encontrar :
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando tabelas de integrais. Após resolver, obtemos os valores de .
Passo 9
Finalmente, substituímos os coeficientes na solução geral:
Resposta
A solução da equação de onda dada, sujeita às condições de contorno e iniciais fornecidas, é:
Essa expressão representa a deformação da corda ao longo do tempo e do espaço, composta pela soma de modos harmônicos com amplitudes determinadas pelos coeficientes .