sujeita às condições indicadas.
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de onda que você me mandou. A gente tem a equação diferencial parcial:
Além disso, temos algumas condições de contorno e iniciais:
  • Condições de contorno:
  • Condições iniciais:
Vamos precisar usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier para resolver essa equação. Vamos passo a passo entender como aplicar esses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :
Substituindo isso na equação da onda, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos leva a duas equações ordinárias:
  1. Para :
  2. Para :

Passo 3

Vamos resolver a equação para :
Com as condições de contorno , estamos lidando com uma equação de Sturm-Liouville. As soluções não triviais acontecem apenas para valores específicos de , chamados de autovalores.
As soluções para são:
E os autovalores correspondentes são:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação para usando os autovalores encontrados:
Substituindo :
As soluções são combinações de cossenos e senos:

Passo 5

Então, a solução geral da equação da onda é uma soma de todas essas soluções:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os coeficientes e .

Passo 6

Primeiro, aplicamos a condição inicial :
Como as funções são ortogonais, temos que todos os .

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para a derivada em relação ao tempo:
Precisamos encontrar os que satisfaçam essa igualdade. Usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para funções de seno:

Passo 8

Vamos calcular a integral para encontrar :
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando tabelas de integrais. Após resolver, obtemos os valores de .

Passo 9

Finalmente, substituímos os coeficientes na solução geral:

Resposta

A solução da equação de onda dada, sujeita às condições de contorno e iniciais fornecidas, é:
Essa expressão representa a deformação da corda ao longo do tempo e do espaço, composta pela soma de modos harmônicos com amplitudes determinadas pelos coeficientes .

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