Determine a função composta r(x) = h(g(x)) onde
h(x) = x^2 + 3 e g(x) = x + 3
Determine a regra da função inversa de r(x), x em [-3, infinito)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a função composta , onde e . Além disso, precisamos encontrar a regra da função inversa de , considerando . Para isso, vamos precisar entender como compor funções e como encontrar a função inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos compor as funções e . A composição significa que vamos substituir a função dentro de . Então, vamos calcular:
Agora, substituímos em :

Passo 3

Vamos simplificar a expressão obtida:
Primeiro, calculamos :
Então:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a função inversa de . Para isso, lembramos que uma função inversa desfaz a ação da função original. Ou seja, se , então a inversa .
Vamos resolver a equação para em termos de .

Passo 5

Resolvendo a equação para :
Primeiro, escrevemos a equação:
Rearranjamos para uma forma de equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver para :
Simplificando dentro da raiz:
Simplificando a fração:
Como estamos considerando , escolhemos a solução com o sinal positivo para garantir que a inversa seja uma função:

Resposta

A função inversa de é .

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