Calcule os limites
(Resp:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para calcular o limite quando
tende a mais infinito da expressão
. Estamos trabalhando com limites, que fazem parte do estudo de cálculo, especificamente em análise de comportamentos de funções quando as variáveis tendem ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão dentro do limite e usar algumas propriedades de limites e raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Aqui, expandimos o produto dentro da raiz para facilitar o trabalho.
Passo 3
Agora, para simplificar ainda mais, vamos fatorar
de dentro da raiz:
Isso é possível porque
quando
é positivo, o que é válido já que estamos considerando
tendendo a mais infinito.
Passo 4
A próxima coisa que vamos fazer é simplificar a expressão
quando
tende a mais infinito. Para valores grandes de
,
fica bem pequeno, então podemos usar uma aproximação para a raiz quadrada:
Aqui,
, que realmente fica pequeno conforme
cresce.
Passo 5
Aplicando essa aproximação na nossa expressão:
Substituindo de volta, temos:
Passo 6
Agora, voltamos à expressão original do limite:
Como
é uma constante, o limite dela é ela mesma.
Resposta
O limite é
.
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