Calcule os limites lim x +infty(raizx(x+a)-x) (Resp: a2)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para calcular o limite quando tende a mais infinito da expressão . Estamos trabalhando com limites, que fazem parte do estudo de cálculo, especificamente em análise de comportamentos de funções quando as variáveis tendem ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão dentro do limite e usar algumas propriedades de limites e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raizx(x + a) = raizx^2 + a x
Aqui, expandimos o produto dentro da raiz para facilitar o trabalho.

Passo 3

Agora, para simplificar ainda mais, vamos fatorar raizx^2 + a x = raizx^2 (1 + ax) = x raiz1 + ax de dentro da raiz:
Isso é possível porque quando é positivo, o que é válido já que estamos considerando tendendo a mais infinito.

Passo 4

A próxima coisa que vamos fazer é simplificar a expressão raiz1 + y approx 1 + y2 quando y é pequeno quando tende a mais infinito. Para valores grandes de , fica bem pequeno, então podemos usar uma aproximação para a raiz quadrada:
é
Aqui, , que realmente fica pequeno conforme cresce.

Passo 5

Aplicando essa aproximação na nossa expressão:
raiz1 + ax approx 1 + a2x
Substituindo de volta, temos:
raizx(x + a) = x (1 + a2x) = x + a2

Passo 6

Agora, voltamos à expressão original do limite:
limx to +infty ( raizx(x + a) - x ) = limx to +infty ( x + a2 - x ) = limx to +infty a2 = a2
Como é uma constante, o limite dela é ela mesma.

Resposta

O limite é .

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