Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo
d y/d x = -a y + b

Passo 1

Beleza, vamos começar! O exercício pede para a gente encontrar a solução geral da equação diferencial . Isso faz parte das equações diferenciais de primeira ordem, que aprendemos na matéria de Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica bem útil para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão das equações lineares de primeira ordem. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para:
Aqui, a gente identifica que a é o coeficiente de y e b é o termo constante.

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. Esse método envolve multiplicar a equação inteira por uma função chamada fator integrante, que nos ajuda a transformar a equação em uma forma onde a esquerda fica a derivada de um produto. Primeiro, calculamos o fator integrante, que é dado por:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Com o fator integrante em mãos, multiplicamos toda a equação original por ele:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto do fator integrante com y. Ou seja:
Isso simplifica bastante a resolução!

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a x:
No lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente o próprio produto:
Aqui, C é a constante de integração que aparece quando integramos.

Passo 6

Por último, vamos isolar y para encontrar a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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