Calcule os limites: lim x infty sen(1x) ln (1x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Isso envolve conceitos de limites, funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão conforme cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que limx to infty sin(1x) ln(1x) = limy to 0 sin(y) ln(y) tende a 0 quando tende ao infinito. Então, podemos reescrever o limite como:
Onde fizemos a substituição , e agora analisamos o limite quando tende a 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar separadamente as duas funções:
  1. : Sabemos que para valores pequenos de , é aproximadamente igual a (isso vem da série de Taylor para o seno).
  2. : Conforme se aproxima de 0 pelo lado positivo, tende a .
Portanto, temos uma forma indefinida do tipo .

Passo 4

Para resolver esse tipo de limite, podemos reescrever a expressão de forma que possamos aplicar a regra de L’Hôpital. Vamos reescrever o produto como uma fração:
sin(y) ln(y) = ln(y)1sin(y)
Agora, analisamos o limite como limy to 0^+ ln(y)1sin(y) :
Essa forma é , que ainda é uma forma indeterminada.

Passo 5

Aplicamos a regra de L’Hôpital, que diz que se temos um limite na forma limy to 0^+ 1y -cos(y)sin^2(y) = limy to 0^+ -sin^2(y)y cos(y) ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador ( ):
Derivada do denominador ( ):
Então, o limite fica:

Passo 6

Simplificando a expressão:
-sin^2(y)y cos(y) = -sin(y)y cdot sin(y)cos(y)
Sabemos que e porque e .

Passo 7

Então, multiplicando os limites:
- ( limy to 0 sin(y)y ) cdot ( limy to 0 sin(y)cos(y) ) = -1 cdot 0 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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