Calcule os limites:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
tende ao infinito da expressão
. Isso envolve conceitos de limites, funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão conforme
cresce sem limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que
tende a 0 quando
tende ao infinito. Então, podemos reescrever o limite como:
Onde fizemos a substituição
, e agora analisamos o limite quando
tende a 0.
Passo 3
Agora, vamos analisar separadamente as duas funções:
-
: Sabemos que para valores pequenos de , é aproximadamente igual a (isso vem da série de Taylor para o seno). -
: Conforme se aproxima de 0 pelo lado positivo, tende a .
Portanto, temos uma forma indefinida do tipo
.
Passo 4
Para resolver esse tipo de limite, podemos reescrever a expressão de forma que possamos aplicar a regra de L’Hôpital. Vamos reescrever o produto como uma fração:
Agora, analisamos o limite como
:
Essa forma é
, que ainda é uma forma indeterminada.
Passo 5
Aplicamos a regra de L’Hôpital, que diz que se temos um limite na forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador (
):
Derivada do denominador (
):
Então, o limite fica:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Sabemos que
e
porque
e
.
Passo 7
Então, multiplicando os limites:
Resposta
O limite é igual a 0.
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