Calcule os limites: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Isso envolve conceitos de limites, funções trigonométricas e logaritmos. Para resolver, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão conforme cresce sem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que tende a 0 quando tende ao infinito. Então, podemos reescrever o limite como:
Onde fizemos a substituição , e agora analisamos o limite quando tende a 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar separadamente as duas funções:
  1. : Sabemos que para valores pequenos de , é aproximadamente igual a (isso vem da série de Taylor para o seno).
  2. : Conforme se aproxima de 0 pelo lado positivo, tende a .
Portanto, temos uma forma indefinida do tipo .

Passo 4

Para resolver esse tipo de limite, podemos reescrever a expressão de forma que possamos aplicar a regra de L’Hôpital. Vamos reescrever o produto como uma fração:
Agora, analisamos o limite como :
Essa forma é , que ainda é uma forma indeterminada.

Passo 5

Aplicamos a regra de L’Hôpital, que diz que se temos um limite na forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador ( ):
Derivada do denominador ( ):
Então, o limite fica:

Passo 6

Simplificando a expressão:
Sabemos que e porque e .

Passo 7

Então, multiplicando os limites:

Resposta

O limite é igual a 0.

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