Calcule os limites:
.
Passo 1
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Esse problema está relacionado aos conceitos de limites em funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos analisar o comportamento de cada parte da função conforme
cresce e usar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o comportamento de
quando
tende ao infinito. A função exponencial
cresce muito rapidamente e tende a infinito conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos analisar
. A função cosseno oscila entre -1 e 1 para todos os valores de
, ou seja,
. Isso significa que, para valores grandes de
,
permanece limitado e não cresce.
Passo 4
Considerando o numerador
, como
tende a infinito e
permanece limitado, o termo dominante é
. Portanto, podemos simplificar o numerador para aproximadamente
quando
é muito grande.
Passo 5
Agora, temos
. Sabemos que
cresce exponencialmente, enquanto
cresce linearmente. O crescimento exponencial é muito mais rápido que o linear, então
tende a infinito quando
tende ao infinito.
Resposta
O limite é infinito, ou seja,
.
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