Calcule os limites: .

Passo 1

Vamos calcular o limite de quando tende ao infinito. Esse problema está relacionado aos conceitos de limites em funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos analisar o comportamento de cada parte da função conforme cresce e usar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o comportamento de quando tende ao infinito. A função exponencial cresce muito rapidamente e tende a infinito conforme aumenta.

Passo 3

Agora, vamos analisar . A função cosseno oscila entre -1 e 1 para todos os valores de , ou seja, . Isso significa que, para valores grandes de , permanece limitado e não cresce.

Passo 4

Considerando o numerador , como tende a infinito e permanece limitado, o termo dominante é . Portanto, podemos simplificar o numerador para aproximadamente quando é muito grande.

Passo 5

Agora, temos . Sabemos que cresce exponencialmente, enquanto cresce linearmente. O crescimento exponencial é muito mais rápido que o linear, então tende a infinito quando tende ao infinito.

Resposta

O limite é infinito, ou seja, .

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