Determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função matemática:
. Nosso objetivo é descobrir em quais intervalos essa função está crescendo ou diminuindo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas. As derivadas nos ajudam a entender o comportamento das funções, como identificar se elas estão subindo ou descendo em determinados pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar onde a função está crescendo ou diminuindo, precisamos calcular a sua derivada. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Se a derivada for positiva, a função está crescendo naquele intervalo; se for negativa, está diminuindo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então:
Passo 4
Agora, queremos saber onde
é positiva ou negativa. Ou seja, precisamos resolver a inequação
para encontrar onde a função está crescendo, e
para onde está diminuindo.
Passo 5
Vamos resolver
:
Sabemos que
é maior que
nos intervalos onde o ângulo
está entre
e
mais quaisquer múltiplos de
. Ou seja:
Passo 6
De forma similar, para
:
Isso acontece quando
está no intervalo entre
e
mais quaisquer múltiplos de
:
Resposta
A função
está crescendo nos intervalos:
E está diminuindo nos intervalos:
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e
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