Determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções:
f(x) = sen(x) + x/2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função matemática: . Nosso objetivo é descobrir em quais intervalos essa função está crescendo ou diminuindo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas. As derivadas nos ajudam a entender o comportamento das funções, como identificar se elas estão subindo ou descendo em determinados pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar onde a função está crescendo ou diminuindo, precisamos calcular a sua derivada. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Se a derivada for positiva, a função está crescendo naquele intervalo; se for negativa, está diminuindo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, queremos saber onde é positiva ou negativa. Ou seja, precisamos resolver a inequação para encontrar onde a função está crescendo, e para onde está diminuindo.

Passo 5

Vamos resolver :
Sabemos que é maior que nos intervalos onde o ângulo está entre e mais quaisquer múltiplos de . Ou seja:
é

Passo 6

De forma similar, para :
Isso acontece quando está no intervalo entre e mais quaisquer múltiplos de :
é

Resposta

A função está crescendo nos intervalos:
é
E está diminuindo nos intervalos:
é

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