Calcule os pontos críticos (se existem) de:
y = x^m (a - x)^n, n, m in Z e a > 0

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função , onde e são números inteiros e é um número positivo. Queremos encontrar os pontos críticos dessa função. Pontos críticos são onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Para isso, vamos precisar calcular a derivada dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função em relação a . Para isso, usamos a regra do produto e a regra da cadeia. A função é um produto de duas partes: e .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas:

Passo 4

Simplificando a expressão:
Agora, podemos fatorar :

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Isso nos dá três possibilidades para :

Passo 6

Resolvendo cada possibilidade:
  1. implica
  2. implica
  3. simplifica para:

Resposta

Os pontos críticos da função são , e .

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