Calcule os limites: lim x +infty(x-1x+3)^x+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é calcular o limite quando tende a mais infinito da expressão . Estamos trabalhando com Cálculo de Limites, e para isso vamos precisar entender alguns conceitos de funções exponenciais e logaritmos. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da potência. Observamos que, quando x-1x+3 = x(1 - 1x)x(1 + 3x) = 1 - 1x1 + 3x fica muito grande, os termos constantes (-1 e +3) têm pouca influência comparados aos termos com . Então, podemos reescrever a fração assim:

Passo 3

Agora, percebemos que quando 1 - 01 + 0 = 1 tende a infinito, e tendem a zero. Então, a expressão se aproxima de:
Mas temos uma potência de , que também tende a infinito. Então, estamos lidando com uma forma indeterminada do tipo . Para resolver isso, vamos usar logaritmos para facilitar a análise.

Passo 4

Vamos chamar o limite que queremos encontrar de L = limx to +infty (x-1x+3)^x+3 :
ln L = limx to +infty (x + 3) cdot ln(x-1x+3)
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
ln(x-1x+3) = ln(1 + -4x + 3)
Aqui, usamos que .

Passo 6

Para ln(1 + -4x + 3) approx -4x + 3 pequeno, sabemos que . Como tende a zero quando vai para infinito, podemos aproximar:

Passo 7

Substituindo essa aproximação na expressão para ln L approx limx to +infty (x + 3) cdot (-4x + 3) = limx to +infty (-4) = -4 :

Passo 8

Agora, para encontrar L = e^ln L = e^-4 , basta desfazer o logaritmo:

Resposta

O limite é .

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