Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é calcular o limite quando
tende a mais infinito da expressão
. Estamos trabalhando com Cálculo de Limites, e para isso vamos precisar entender alguns conceitos de funções exponenciais e logaritmos. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da potência. Observamos que, quando
fica muito grande, os termos constantes (-1 e +3) têm pouca influência comparados aos termos com
. Então, podemos reescrever a fração assim:
Passo 3
Agora, percebemos que quando
tende a infinito,
e
tendem a zero. Então, a expressão se aproxima de:
Mas temos uma potência de
, que também tende a infinito. Então, estamos lidando com uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver isso, vamos usar logaritmos para facilitar a análise.
Passo 4
Vamos chamar o limite que queremos encontrar de
:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Aqui, usamos que
.
Passo 6
Para
pequeno, sabemos que
. Como
tende a zero quando
vai para infinito, podemos aproximar:
Passo 7
Substituindo essa aproximação na expressão para
:
Passo 8
Agora, para encontrar
, basta desfazer o logaritmo:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites:
Se
é um polinômio de grau
e satisfaz a condição que a soma dos coeficientes é zero, então
é divisível por
.