Calcule os limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão é calcular o limite quando tende a mais infinito da expressão . Estamos trabalhando com Cálculo de Limites, e para isso vamos precisar entender alguns conceitos de funções exponenciais e logaritmos. Vamos passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da potência. Observamos que, quando fica muito grande, os termos constantes (-1 e +3) têm pouca influência comparados aos termos com . Então, podemos reescrever a fração assim:

Passo 3

Agora, percebemos que quando tende a infinito, e tendem a zero. Então, a expressão se aproxima de:
Mas temos uma potência de , que também tende a infinito. Então, estamos lidando com uma forma indeterminada do tipo . Para resolver isso, vamos usar logaritmos para facilitar a análise.

Passo 4

Vamos chamar o limite que queremos encontrar de :
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Aqui, usamos que .

Passo 6

Para pequeno, sabemos que . Como tende a zero quando vai para infinito, podemos aproximar:

Passo 7

Substituindo essa aproximação na expressão para :

Passo 8

Agora, para encontrar , basta desfazer o logaritmo:

Resposta

O limite é .

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Calcule os limites:
Se é um polinômio de grau e satisfaz a condição que a soma dos coeficientes é zero, então é divisível por .