Se é um polinômio de grau e satisfaz a condição que a soma dos coeficientes é zero, então é divisível por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre polinômios, especificamente sobre a divisibilidade de um polinômio por . O enunciado diz que se a soma dos coeficientes de um polinômio é zero, então é divisível por . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Resto e o Teorema do Fator.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a soma dos coeficientes é zero. A soma dos coeficientes de é simplesmente , pois substituindo na função, temos:
De acordo com o enunciado, essa soma é igual a zero:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema do Resto, que nos diz que o resto da divisão de um polinômio por é igual a . Ou seja, se substituirmos em , o resultado será o resto dessa divisão.
No nosso caso, queremos verificar a divisibilidade por . Então, aplicando o teorema:
Como o resto da divisão é zero, isso significa que divide exatamente, ou seja, sem deixar resto.

Resposta

Portanto, se a soma dos coeficientes do polinômio é zero, então é divisível por .

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Se for idêntico a , então .