integral0^3 pi / 2 4 sen(x)-cos (x)3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está na área de Cálculo, especificamente no estudo de integrais. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções trigonométricas e entender um pouco sobre integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos fatorar o integral0^3pi2 4 sen(x) - cos(x)3 dx = 13 integral0^3pi2 (4 sen(x) - cos(x)) dx fora da integral para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de é integral (4 sen(x) - cos(x)) dx = 4 integral sen(x) dx - integral cos(x) dx = 4(-cos(x)) - sen(x) = -4 cos(x) - sen(x) e a integral de é . Aplicando essas regras:

Passo 4

Em seguida, aplicamos os limites de integração de [ -4 cos(x) - sen(x) ]0^3pi2 = ( -4 cos(3pi2) - sen(3pi2) ) - ( -4 cos(0) - sen(0) ) a :

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
  • Sabemos que ( -4(0) - (-1) ) - ( -4(1) - 0 ) = (0 + 1) - (-4) = 1 + 4 = 5 e .
  • Também, e .
Substituindo:

Passo 6

Lembre-se que multiplicamos pelo fator 13 times 5 = 53 que tiramos no Passo 2:

Resposta

O valor da integral é .

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