Calcule os limites:

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Isso está ligado ao estudo de limites no Cálculo, e pra resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que envolvem raízes quadradas quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte dentro da raiz: . Quando é muito grande, domina o 5, então podemos aproximar como . Mas pra ser mais preciso, usamos uma expansão:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
Simplificando dentro do parênteses:

Passo 4

Multiplicando por cada termo dentro do parênteses:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando tende ao infinito:
  • cresce muito rápido e domina os outros termos.
  • também cresce, mas de forma linear, bem menor que .
  • é uma constante e não afeta o crescimento.
Então, a expressão tende ao infinito quando cresce sem limites.

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

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Calcule os limites:
Em cada item, determine as coordenadas polares com e do ponto cujas coordenadas cartesianas são dadas.
(h) .
Em cada item, encontre uma equação cartesiana para a curva representada pela equação polar dada.
(a) .