Calcule os limites:
lim x +infty x(raizx^2+5-5)

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Isso está ligado ao estudo de limites no Cálculo, e pra resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que envolvem raízes quadradas quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte dentro da raiz: raizx^2 + 5 = xraiz1 + 5x^2 approx x(1 + 52x^2) = x + 52x . Quando é muito grande, domina o 5, então podemos aproximar como . Mas pra ser mais preciso, usamos uma expansão:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
x(raizx^2+5-5) approx x(x + 52x - 5)
Simplificando dentro do parênteses:
x + 52x - 5 = x - 5 + 52x

Passo 4

Multiplicando x(x - 5) + x(52x) = x^2 - 5x + 52 por cada termo dentro do parênteses:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando tende ao infinito:
  • cresce muito rápido e domina os outros termos.
  • também cresce, mas de forma linear, bem menor que .
  • é uma constante e não afeta o crescimento.
Então, a expressão tende ao infinito quando cresce sem limites.

Resposta

O limite é .

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