Calcule os limites:
lim x -infty x+2raiz9 x^2-3

Passo 1

Resumo do Problema e Conceitos Envolvidos
Vamos calcular o limite:
limx -infty x + 2raiz9x^2 - 3
Matéria Envolvida: Cálculo de limites, especialmente limites no infinito.
O que vamos precisar:
  • Entender como lidar com expressões racionais com funções polinomiais no numerador e no denominador.
  • Saber simplificar expressões para facilitar o cálculo do limite.
  • Conhecer propriedades de limites envolvendo raízes quadradas.

Passo 2

Identificando o Grau do Numerador e do Denominador
Primeiro, vamos olhar os graus do polinômio no numerador e no radicando do denominador.
  • Numerador: é um polinômio de grau 1.
  • Denominador: envolve , que é um polinômio de grau 2 dentro da raiz quadrada.
Sabemos que ao lidar com limites no infinito, os termos de maior grau dominam o comportamento da função.

Passo 3

Simplificando a Expressão
Para simplificar, vamos fatorar o termo de maior grau no numerador e no denominador.
No numerador, o termo de maior grau é x + 2 = x(1 + 2x) :
raiz9x^2 - 3 = raizx^2 (9 - 3x^2) = |x| raiz9 - 3x^2
No denominador, temos a raiz quadrada de . Vamos fatorar de dentro da raiz:
Como tende para , é negativo, então .

Passo 4

Substituindo de Volta na Expressão Original
Agora, substituímos as simplificações no limite:
limx -infty x(1 + 2x)-x raiz9 - 3x^2
Aqui, podemos cancelar o limx -infty 1 + 2x-raiz9 - 3x^2 do numerador e o do denominador:

Passo 5

Calculando o Limite
Agora, vamos avaliar o limite à medida que 1 + 0-raiz9 - 0 = 1-3 = -13 tende para :
  • tende para 0.
  • também tende para 0.
Substituindo esses valores:

Resposta

limx -infty x + 2raiz9x^2 - 3 = -13

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