Calcule os limites: lim x +infty(x1+x)^x.

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício envolve o conteúdo de limites e exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites, logaritmos e a definição da constante .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Podemos reescrever (x1+x)^x = (1 - 11+x)^x como . Assim, temos:

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo do limite, vamos aplicar o logaritmo natural. Lembrando que ln((1 - 11+x)^x) = x cdot ln(1 - 11+x) , temos:

Passo 4

Vamos analisar o limite de ln(1 - 11+x) approx -11+x conforme x cdot ln(1 - 11+x) approx x cdot (-11+x) = -x1+x tende ao infinito. Usando a aproximação para pequeno, temos:
Substituindo na expressão:

Passo 5

Calculando o limite de limx to infty -x1+x = -1 quando tende ao infinito:

Passo 6

Agora, voltamos à expressão original usando o resultado do logaritmo:
lim x +infty(x1+x)^x = e^-1 = 1e

Resposta

O limite é .

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