Calcule a(s) derivada(s) lateral(is) no(s) ponto(s) indicado(s) e verifique se neste(s) ponto(s) é(são) diferenciável(veis). Esboce o gráfico de cada função.
e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas laterais nos pontos e da função dada, e verificar se a função é diferenciável nesses pontos. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas laterais e diferenciabilidade em funções por partes. Vamos precisar entender como calcular derivadas laterais e analisar a continuidade da função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida por partes:
Isso significa que a função tem três expressões diferentes dependendo do valor de .
Passo 3
Vamos calcular a derivada lateral à esquerda em . Para isso, consideramos a parte da função para :
A derivada dessa parte é:
Então, a derivada à esquerda de é:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada lateral à direita em . Para , a função é constante:
A derivada de uma constante é zero:
Passo 5
Vamos comparar as derivadas laterais em :
Como elas são diferentes, concluímos que a função não é diferenciável em .
Passo 6
Agora, vamos para . Primeiro, a derivada lateral à esquerda usando :
Portanto:
Passo 7
Em seguida, calculamos a derivada lateral à direita usando :
Então:
Passo 8
Comparando as derivadas laterais em :
Como são diferentes, a função também não é diferenciável em .
Resposta
As derivadas laterais nos pontos e são diferentes:
Portanto, a função não é diferenciável em e . Além disso, o gráfico de apresenta descontinuidades nesses pontos, conforme as definições por partes.