Mostre que existe
tal que
. Sugestão: use o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 1
Claro! A questão pede para mostrar que existe um número
no intervalo
que satisfaz a equação
. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a garantir a existência de raízes em certos intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função que representa a equação dada:
Nosso objetivo é encontrar um valor de
tal que
.
Passo 3
O Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função é contínua em um intervalo
e
é um número entre
e
, então existe pelo menos um
em
tal que
.
Passo 4
Vamos verificar os valores de
nos extremos do intervalo
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Observamos que
e
. Ou seja,
e
. Como
está entre
e
, e a função
é contínua (pois
e
são funções contínuas), pelo Teorema do Valor Intermediário deve existir pelo menos um
em
tal que
.
Resposta
Existe pelo menos um valor de
no intervalo
que satisfaz
.
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.
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.
Nos exercícios abaixo, encontre
por derivação implícita.
Calcule a derivada.
.