Calcule os limites: lim x -infty x+2raiz9 x^2-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites no infinito, especificamente quando tende a menos infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam as funções polinomiais e as raízes quadradas quando fica muito grande (positiva ou negativamente).

Passo 2

Primeiro, observamos que no numerador temos e no denominador . Quando tende a menos infinito, os termos e se tornam insignificantes em comparação com e . Então, a estratégia é fatorar os termos com a maior potência de para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar x + 2raiz9x^2 - 3 = x(1 + 2x)raiz9x^2(1 - 39x^2) no numerador e = x(1 + 2x)|x|raiz9(1 - 13x^2) dentro da raiz no denominador:
Simplificando a raiz:

Passo 4

Como = x(1 + 2x)-xraiz9(1 - 13x^2) está tendendo a menos infinito ( = 1 + 2x-raiz9(1 - 13x^2) ), sabemos que . Então, substituímos por :
Podemos cancelar no numerador e no denominador:

Passo 5

Agora, avaliamos o limite quando = 1 + 0-raiz9(1 - 0) = 1-3 = -13 tende a menos infinito. Os termos e vão a zero, então a expressão fica:

Resposta

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