Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o domínio da função
e também calcular a sua derivada. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra para o domínio e o conceito de derivada da matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que fazem a função funcionar, ou seja, onde a função está definida. Olhando para
, vemos que é um polinômio.
Passo 3
Funções polinomiais, como
, não têm restrições no domínio porque a gente pode substituir qualquer número real por
e vai dar certo. Não tem divisão por zero, nem raiz quadrada de número negativo, por exemplo.
Passo 4
Então, o domínio de
é todos os números reais. Em notação matemática, escrevemos isso como:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada da função. A derivada basicamente nos diz a inclinação da função em qualquer ponto, ou como a função muda quando
muda.
Passo 6
Para derivar
, usamos a regra da potência. Essa regra diz que, para uma função
, a derivada é
.
Passo 7
Aplicando a regra da potência a cada termo:
- Para
:
- Para
(que é ):
Passo 8
Agora, juntamos as derivadas dos termos:
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais, ou seja,
. A derivada da função é
.
Exercícios relacionados
Usando a definição de derivada, calcule
, sendo dados:
e
;
Determine
, se possível, de modo que as funções dadas a seguir sejam contínuas:
, se
, se
, se
Calcule os limites: