Indique os domínios das funções dadas e derive-as: ;

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Precisamos indicar os domínios da função e derivá-la. Para isso, vamos usar conceitos de funções e cálculo, especificamente sobre domínio de funções e regras de derivação de produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
  • A função exponencial está definida para todo número real .
  • A função cosseno também está definida para todo número real .
Como ambas as funções estão definidas para qualquer valor real de , o produto delas também estará definido para todo real.

Passo 3

Agora, vamos derivar a função . Para isso, usamos a regra do produto, que é utilizada quando temos a derivada de duas funções multiplicadas.
A regra do produto diz que, se temos duas funções e , então a derivada do produto delas é:

Passo 4

Identificamos as funções e na expressão :
Agora, vamos encontrar as derivadas de e :
  • A derivada de é , porque a função exponencial é sua própria derivada.
  • A derivada de é , já que a derivada do cosseno é o negativo do seno.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

O domínio da função é (todos os números reais). A derivada da função é:

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