Indique os domínios das funções dadas e derive-as: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente indicar os domínios da função dada e depois derivá-la. A função que temos é:
Aqui, vamos precisar entender um pouquinho sobre domínio de funções e derivadas. O domínio é basicamente todos os valores de que a função aceita sem dar problema, tipo dividir por zero ou tirar raiz de número negativo. E derivar é encontrar a taxa de variação da função, ou seja, como ela muda conforme muda.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função . Para isso, precisamos analisar a expressão para ver onde ela está bem definida.
A função tem uma raiz quadrada, , e sabemos que a raiz quadrada só está definida para números não negativos. Então, o que precisamos é:
Além disso, não há nenhuma divisão por zero ou outros problemas na expressão, então o único ponto a considerar é onde a raiz está definida.

Passo 3

Portanto, o domínio da função é todos os valores de maiores ou iguais a zero. Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos para a parte da derivada. Queremos encontrar , a derivada de em relação a .
Primeiro, podemos simplificar a função para facilitar a derivação. Lembre-se que é o mesmo que . Então:

Passo 5

Agora que temos , podemos usar a regra da potência para derivar. A regra da potência diz que se temos , então:
Aplicando isso a :

Passo 6

Finalmente, podemos reescrever como para deixar a derivada com uma forma talvez mais familiar:

Resposta

O domínio da função é e a derivada da função é:

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