Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente indicar os domínios da função dada e depois derivá-la. A função que temos é:
Aqui, vamos precisar entender um pouquinho sobre domínio de funções e derivadas. O domínio é basicamente todos os valores de
que a função aceita sem dar problema, tipo dividir por zero ou tirar raiz de número negativo. E derivar é encontrar a taxa de variação da função, ou seja, como ela muda conforme
muda.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
. Para isso, precisamos analisar a expressão para ver onde ela está bem definida.
A função tem uma raiz quadrada,
, e sabemos que a raiz quadrada só está definida para números não negativos. Então, o que precisamos é:
Além disso, não há nenhuma divisão por zero ou outros problemas na expressão, então o único ponto a considerar é onde a raiz está definida.
Passo 3
Portanto, o domínio da função
é todos os valores de
maiores ou iguais a zero. Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos para a parte da derivada. Queremos encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Primeiro, podemos simplificar a função para facilitar a derivação. Lembre-se que
é o mesmo que
. Então:
Passo 5
Agora que temos
, podemos usar a regra da potência para derivar. A regra da potência diz que se temos
, então:
Aplicando isso a
:
Passo 6
Finalmente, podemos reescrever
como
para deixar a derivada com uma forma talvez mais familiar:
Resposta
O domínio da função
é
e a derivada da função é:
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Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
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Indique os domínios das funções dadas e derive-as: