Calcule os limites. lim x +infty[ln (1+x)-ln x]

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e de que matéria ela pertence. Temos que calcular o limite de quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções logarítmicas e limites, que fazem parte do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão ln(1+x) - ln x = ln(1+xx) . Sabemos que a diferença de dois logaritmos pode ser reescrita como o logaritmo de uma divisão. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração dentro do logaritmo:
1+xx = x + 1x = xx + 1x = 1 + 1x
Portanto, a expressão fica:
ln(1 + 1x)

Passo 4

Vamos analisar o que acontece quando limx to +infty 1x = 0 tende ao infinito. Quando fica muito grande, o termo fica muito pequeno, ou seja, ele tende a zero:

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão dentro do logaritmo, temos:
limx to +infty ln(1 + 1x) = ln(1 + 0) = ln(1)
Sabemos que .

Resposta

O limite é igual a .

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