Dos seguintes subconjuntos de
diga quais são fechados, abertos, limitados; em seguida calcule suas fronteiras.
b)
, no
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar o conjunto
no plano
. O que a gente vai verificar é se esse conjunto é fechado, aberto, limitado e depois calcular a fronteira dele. Para isso, vamos usar conceitos de topologia, que é um ramo da matemática que estuda propriedades dos conjuntos que permanecem inalteradas mesmo com deformações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o conjunto
. Esse conjunto inclui todos os pontos no plano onde as coordenadas
e
são maiores ou iguais a zero. Então, estamos falando do primeiro quadrante do plano cartesiano, incluindo os eixos
e
.
Passo 3
Vamos verificar se
é fechado. Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de fronteira. Para isso, precisamos identificar os pontos que estão exatamente no limite de
. No nosso caso, como
e
são maiores ou iguais a zero, os próprios eixos
e
fazem parte da fronteira. Como
inclui esses pontos, ele é fechado.
Passo 4
Agora, vamos ver se
é aberto. Um conjunto é aberto se todo ponto dentro dele tem uma vizinhança totalmente contida no conjunto. Porém, no nosso caso, os pontos nos eixos
e
não têm essa propriedade, já que qualquer pequeno círculo ao redor deles vai sair do primeiro quadrante. Portanto,
não é aberto.
Passo 5
Vamos checar se
é limitado. Um conjunto é limitado se todos os seus pontos estão dentro de uma bola de raio finito. Mas olhando para
, podemos ir aumentando
e
sem limite, o que significa que não há um limite superior para os valores dessas coordenadas. Assim,
não é limitado.
Passo 6
Por último, vamos calcular a fronteira de
. A fronteira de um conjunto inclui todos os pontos onde qualquer pequena vizinhança ao redor contém pontos dentro e fora do conjunto. Para
, a fronteira consiste nos próprios eixos
e
, já que qualquer ponto nessas linhas está no limite do primeiro quadrante. Então, a fronteira de
é o conjunto
.
Resposta
O conjunto
é fechado, não é aberto, não é limitado, e sua fronteira é
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites.
Calcule o volume do sólido delimitado por
e
.
Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.
c)
c)
Dos seguintes subconjuntos de
diga quais são fechados, abertos, limitados; em seguida calcule suas fronteiras.
c) ;
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