Dos seguintes subconjuntos de diga quais são fechados, abertos, limitados; em seguida calcule suas fronteiras.
b) , no

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar o conjunto no plano . O que a gente vai verificar é se esse conjunto é fechado, aberto, limitado e depois calcular a fronteira dele. Para isso, vamos usar conceitos de topologia, que é um ramo da matemática que estuda propriedades dos conjuntos que permanecem inalteradas mesmo com deformações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o conjunto . Esse conjunto inclui todos os pontos no plano onde as coordenadas e são maiores ou iguais a zero. Então, estamos falando do primeiro quadrante do plano cartesiano, incluindo os eixos e .

Passo 3

Vamos verificar se é fechado. Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de fronteira. Para isso, precisamos identificar os pontos que estão exatamente no limite de . No nosso caso, como e são maiores ou iguais a zero, os próprios eixos e fazem parte da fronteira. Como inclui esses pontos, ele é fechado.

Passo 4

Agora, vamos ver se é aberto. Um conjunto é aberto se todo ponto dentro dele tem uma vizinhança totalmente contida no conjunto. Porém, no nosso caso, os pontos nos eixos e não têm essa propriedade, já que qualquer pequeno círculo ao redor deles vai sair do primeiro quadrante. Portanto, não é aberto.

Passo 5

Vamos checar se é limitado. Um conjunto é limitado se todos os seus pontos estão dentro de uma bola de raio finito. Mas olhando para , podemos ir aumentando e sem limite, o que significa que não há um limite superior para os valores dessas coordenadas. Assim, não é limitado.

Passo 6

Por último, vamos calcular a fronteira de . A fronteira de um conjunto inclui todos os pontos onde qualquer pequena vizinhança ao redor contém pontos dentro e fora do conjunto. Para , a fronteira consiste nos próprios eixos e , já que qualquer ponto nessas linhas está no limite do primeiro quadrante. Então, a fronteira de é o conjunto .

Resposta

O conjunto é fechado, não é aberto, não é limitado, e sua fronteira é .

Exercícios relacionados

Calcule os limites.
Calcule o volume do sólido delimitado por e .
Calcule as derivadas trigonométricas inversas abaixo.
c)
Dos seguintes subconjuntos de diga quais são fechados, abertos, limitados; em seguida calcule suas fronteiras.
c) ;