Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
d) quadrado em de lados paralelos aos eixos e vértices em e , sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que encontrar uma parametrização para um quadrado no plano . Esse quadrado tem lados paralelos aos eixos e possui vértices nos pontos e . Além disso, a parametrização deve seguir o sentido anti-horário.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como parametrizar curvas no plano, especialmente retas que formam os lados do quadrado. Vamos dividir o quadrado em quatro lados e definir uma função para cada lado usando um parâmetro que varia de 0 a 1, assegurando que percorremos o caminho de forma contínua e no sentido anti-horário.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todos os vértices do quadrado. Sabemos que dois deles são e . Como os lados são paralelos aos eixos, os outros dois vértices serão e . Assim, os quatro vértices do quadrado são:
Passo 3
Agora, vamos dividir o percurso do quadrado em quatro segmentos de reta, cada um conectando dois vértices consecutivos no sentido anti-horário:
De a
De a
De a
De a
Vamos definir uma função parametrizada para cada um desses segmentos usando um parâmetro que varia de 0 a 1 em cada segmento.
Passo 4
Para cada segmento, definimos coordenadas e de acordo com a mudança nas posições dos vértices. Vamos considerar que cada segmento corresponde a um intervalo de de 0 a 1.
Segmento de a :
(já que a coordenada não muda)
Segmento de a :
(a coordenada permanece constante)
Segmento de a :
(a coordenada permanece constante)
Segmento de a :
(a coordenada permanece constante)
Passo 5
Agora, vamos juntar todas essas parametrizações em uma única função que percorre o quadrado inteiro no sentido anti-horário. Podemos definir uma função com o parâmetro variando de 0 a 4, onde cada intervalo de corresponde a um segmento diferente: