Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
d) quadrado em
de lados paralelos aos eixos e vértices em
e
, sentido anti-horário.
d) quadrado em
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que encontrar uma parametrização para um quadrado no plano
. Esse quadrado tem lados paralelos aos eixos e possui vértices nos pontos
e
. Além disso, a parametrização deve seguir o sentido anti-horário.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como parametrizar curvas no plano, especialmente retas que formam os lados do quadrado. Vamos dividir o quadrado em quatro lados e definir uma função para cada lado usando um parâmetro que varia de 0 a 1, assegurando que percorremos o caminho de forma contínua e no sentido anti-horário.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todos os vértices do quadrado. Sabemos que dois deles são
e
. Como os lados são paralelos aos eixos, os outros dois vértices serão
e
. Assim, os quatro vértices do quadrado são:
Passo 3
Agora, vamos dividir o percurso do quadrado em quatro segmentos de reta, cada um conectando dois vértices consecutivos no sentido anti-horário:
- De
a - De
a - De
a - De
a
Vamos definir uma função parametrizada para cada um desses segmentos usando um parâmetro
que varia de 0 a 1 em cada segmento.
Passo 4
Para cada segmento, definimos coordenadas
e
de acordo com a mudança nas posições dos vértices. Vamos considerar que cada segmento corresponde a um intervalo de
de 0 a 1.
-
Segmento de
a : -
-
(já que a coordenada não muda)
-
-
Segmento de
a : -
(a coordenada permanece constante) -
-
-
Segmento de
a : -
-
(a coordenada permanece constante)
-
-
Segmento de
a : -
(a coordenada permanece constante) -
-
Passo 5
Agora, vamos juntar todas essas parametrizações em uma única função que percorre o quadrado inteiro no sentido anti-horário. Podemos definir uma função
com o parâmetro
variando de 0 a 4, onde cada intervalo de
corresponde a um segmento diferente:
-
Para
(primeiro segmento): -
-
Para
(segundo segmento): -
-
Para
(terceiro segmento): -
-
Para
(quarto segmento): -
Resposta
Uma possível parametrização para o quadrado é: