Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
d) quadrado em de lados paralelos aos eixos e vértices em e , sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que encontrar uma parametrização para um quadrado no plano . Esse quadrado tem lados paralelos aos eixos e possui vértices nos pontos e . Além disso, a parametrização deve seguir o sentido anti-horário.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como parametrizar curvas no plano, especialmente retas que formam os lados do quadrado. Vamos dividir o quadrado em quatro lados e definir uma função para cada lado usando um parâmetro que varia de 0 a 1, assegurando que percorremos o caminho de forma contínua e no sentido anti-horário.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todos os vértices do quadrado. Sabemos que dois deles são e . Como os lados são paralelos aos eixos, os outros dois vértices serão e . Assim, os quatro vértices do quadrado são:

Passo 3

Agora, vamos dividir o percurso do quadrado em quatro segmentos de reta, cada um conectando dois vértices consecutivos no sentido anti-horário:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
  4. De a
Vamos definir uma função parametrizada para cada um desses segmentos usando um parâmetro que varia de 0 a 1 em cada segmento.

Passo 4

Para cada segmento, definimos coordenadas e de acordo com a mudança nas posições dos vértices. Vamos considerar que cada segmento corresponde a um intervalo de de 0 a 1.
  1. Segmento de a :
    • (já que a coordenada não muda)
  2. Segmento de a :
    • (a coordenada permanece constante)
  3. Segmento de a :
    • (a coordenada permanece constante)
  4. Segmento de a :
    • (a coordenada permanece constante)

Passo 5

Agora, vamos juntar todas essas parametrizações em uma única função que percorre o quadrado inteiro no sentido anti-horário. Podemos definir uma função com o parâmetro variando de 0 a 4, onde cada intervalo de corresponde a um segmento diferente:
  • Para (primeiro segmento):
  • Para (segundo segmento):
  • Para (terceiro segmento):
  • Para (quarto segmento):

Resposta

Uma possível parametrização para o quadrado é:

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