Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
d) quadrado em R^2 de lados paralelos aos eixos e vértices em (0,0) e 1,2, sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que encontrar uma parametrização para um quadrado no plano R^2. Esse quadrado tem lados paralelos aos eixos e possui vértices nos pontos (0,0) e 1,2. Além disso, a parametrização deve seguir o sentido anti-horário.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como parametrizar curvas no plano, especialmente retas que formam os lados do quadrado. Vamos dividir o quadrado em quatro lados e definir uma função para cada lado usando um parâmetro que varia de 0 a 1, assegurando que percorremos o caminho de forma contínua e no sentido anti-horário.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todos os vértices do quadrado. Sabemos que dois deles são (0,0) e 1,2. Como os lados são paralelos aos eixos, os outros dois vértices serão 1,0 e 0,2. Assim, os quatro vértices do quadrado são:
  • (0,0)
  • 1,0
  • 1,2
  • 0,2

Passo 3

Agora, vamos dividir o percurso do quadrado em quatro segmentos de reta, cada um conectando dois vértices consecutivos no sentido anti-horário:
  1. De (0,0) a 1,0
  2. De 1,0 a 1,2
  3. De 1,2 a 0,2
  4. De 0,2 a (0,0)
Vamos definir uma função parametrizada para cada um desses segmentos usando um parâmetro t que varia de 0 a 1 em cada segmento.

Passo 4

Para cada segmento, definimos coordenadas x(t) e y(t) de acordo com a mudança nas posições dos vértices. Vamos considerar que cada segmento corresponde a um intervalo de t de 0 a 1.
  1. Segmento de (0,0) a 1,0:
    • (já que a coordenada y não muda)
  2. Segmento de 1,0 a 1,2:
    • (a coordenada x permanece constante)
  3. Segmento de 1,2 a 0,2:
    • (a coordenada y permanece constante)
  4. Segmento de 0,2 a (0,0):
    • (a coordenada x permanece constante)

Passo 5

Agora, vamos juntar todas essas parametrizações em uma única função que percorre o quadrado inteiro no sentido anti-horário. Podemos definir uma função f(t) com o parâmetro t variando de 0 a 4, onde cada intervalo de t corresponde a um segmento diferente:
  • Para (primeiro segmento):
  • Para (segundo segmento):
  • Para (terceiro segmento):
  • Para (quarto segmento):

Resposta

Uma possível parametrização para o quadrado é:

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