Calcule o volume do sólido delimitado por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume do sólido que está limitado pelo cilindro
, pelo plano
e pela outra equação do plano
. Vamos usar cálculo integral para resolver isso, especificamente coordenadas cilíndricas, já que a base do sólido é um cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos mudar as equações para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
-
-
-
E a equação do cilindrovira , ou seja, .
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração. O raio
varia de 0 a 2, o ângulo
varia de 0 a
para cobrir todo o círculo, e o valor de
vai de 0 (plano
) até a superfície dada pelo plano
.
Passo 4
Expressando o plano
em coordenadas cilíndricas:
Resolvendo para :
Resolvendo para
Passo 5
Agora, configuramos a integral tripla para calcular o volume:
Aqui, o
extra vem do Jacobiano da mudança para coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos expandir os termos dentro da integral:
Passo 8
Vamos integrar em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Então, o volume total é:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Encontre uma possível parametrização para as seguintes curvas:
d) quadrado em de lados paralelos aos eixos e vértices em
e
, sentido anti-horário.
d) quadrado em
No estudo da penetração da geada em uma rodovia, a temperatura
no instante
de horas e à profundidade
pode ser dada aproximadamente por
, em que
são constantes. O período de
representa 24 horas. Calcule e interprete
e
.
Calcule os limites.
Dos seguintes subconjuntos de
diga quais são fechados, abertos, limitados; em seguida calcule suas fronteiras.
b) , no
b)