Calcule o volume do sólido delimitado por e .

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do sólido que está limitado pelo cilindro , pelo plano e pela outra equação do plano . Vamos usar cálculo integral para resolver isso, especificamente coordenadas cilíndricas, já que a base do sólido é um cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar as equações para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:

  • E a equação do cilindro vira , ou seja, .

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração. O raio varia de 0 a 2, o ângulo varia de 0 a para cobrir todo o círculo, e o valor de vai de 0 (plano ) até a superfície dada pelo plano .

Passo 4

Expressando o plano em coordenadas cilíndricas:

Resolvendo para :

Passo 5

Agora, configuramos a integral tripla para calcular o volume:
Aqui, o extra vem do Jacobiano da mudança para coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 7

Agora, a integral fica:
Vamos expandir os termos dentro da integral:

Passo 8

Vamos integrar em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 9

Agora, integramos em relação a :
é
Então, o volume total é:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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