Calcule os limites :
lim x a x^k-a^kx-a

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o limite de quando se aproxima de . Isso está ligado ao estudo de limites em cálculo, especialmente envolvendo funções polinomiais. Para resolver, vamos usar algumas técnicas de álgebra e propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a expressão x^k - a^k = (x - a)(x^k-1 + x^k-2a + dots + a^k-1) tem uma forma que sugere uma fatoração. Existe uma fórmula para a diferença de potências que pode ajudar aqui:

Passo 3

Vamos aplicar essa fatoração na expressão original:
x^k - a^kx - a = (x - a)(x^k-1 + x^k-2a + dots + a^k-1)x - a

Passo 4

Agora, a gente pode simplificar cancelando o x^k-1 + x^k-2a + dots + a^k-1 que está no numerador e no denominador:

Passo 5

Com a expressão simplificada, vamos calcular o limite substituindo a^k-1 + a^k-2a + dots + a^k-1 por :

Passo 6

Perceba que cada termo da soma é igual a k cdot a^k-1 e há exatamente desses termos somando juntos. Então, a soma total vai ser:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados