Uma fábrica produz mensalmente x unidades de um produto A e y unidades de um produto B , sendo o lucro mensal da produção conjunta dado por:
L(x, y)=15.000+raiz2 x^2+8 y^2 (L em reais )
Num certo mês foram produzidas 2.000 unidades de A e 1.000 unidades de B. Calcule partial Lpartial x e partial Lpartial y nesse mês;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma fábrica que produz dois produtos, A e B, com quantidades mensais de x e y respectivamente. O lucro mensal dessa produção conjunta é dado pela função:
L(x, y) = 15.000 + raiz2x^2 + 8y^2
Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas parciais, para descobrir como o lucro muda quando só aumentamos a produção de A ou de B. Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais partial Lpartial x e partial Lpartial y no mês em que foram produzidas 2.000 unidades de A e 1.000 de B.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Em funções de várias variáveis, como L(x, y), a derivada parcial em relação a x mostra como L muda quando apenas x muda, mantendo y constante. A mesma ideia vale para a derivada parcial em relação a y.

Passo 3

Vamos calcular partial Lpartial x. A função L(x, y) é:
L(x, y) = 15.000 + raiz2x^2 + 8y^2
A derivada parcial de L em relação a x é:
partial Lpartial x = ddx (15.000 + raiz2x^2 + 8y^2)
Como a constante 15.000 desaparece na derivada, ficamos com:
partial Lpartial x = 12 cdot 4xraiz2x^2 + 8y^2 = 2xraiz2x^2 + 8y^2

Passo 4

Agora, vamos calcular partial Lpartial y. Usando a mesma função L(x, y):
partial Lpartial y = ddy (15.000 + raiz2x^2 + 8y^2)
A constante 15.000 novamente some, e a derivada fica:
partial Lpartial y = 12 cdot 16yraiz2x^2 + 8y^2 = 8yraiz2x^2 + 8y^2

Passo 5

Agora que temos as expressões das derivadas parciais, vamos substituir os valores dados: x = 2.000 e y = 1.000.
Primeiro, calculamos partial Lpartial x:
partial Lpartial x = 2 cdot 2000raiz2 cdot (2000)^2 + 8 cdot (1000)^2 = 4000raiz8.000.000 + 8.000.000 = 4000raiz16.000.000 = 40004000 = 1

Passo 6

Agora, calculamos partial Lpartial y:
partial Lpartial y = 8 cdot 1000raiz2 cdot (2000)^2 + 8 cdot (1000)^2 = 8000raiz8.000.000 + 8.000.000 = 8000raiz16.000.000 = 80004000 = 2

Resposta

As derivadas parciais no mês considerado são:
partial Lpartial x = 1 e partial Lpartial y = 2

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