Uma fábrica produz mensalmente
unidades de um produto A e
unidades de um produto B , sendo o lucro mensal da produção conjunta dado por:
Num certo mês foram produzidas 2.000 unidades de A e 1.000 unidades de B. Calcule
e
nesse mês;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma fábrica que produz dois produtos, A e B, com quantidades mensais de
e
respectivamente. O lucro mensal dessa produção conjunta é dado pela função:
Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas parciais, para descobrir como o lucro muda quando só aumentamos a produção de A ou de B. Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais
e
no mês em que foram produzidas 2.000 unidades de A e 1.000 de B.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Em funções de várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
mostra como
muda quando apenas
muda, mantendo
constante. A mesma ideia vale para a derivada parcial em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
. A função
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Como a constante 15.000 desaparece na derivada, ficamos com:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Usando a mesma função
:
A constante 15.000 novamente some, e a derivada fica:
Passo 5
Agora que temos as expressões das derivadas parciais, vamos substituir os valores dados:
e
.
Primeiro, calculamos
:
Passo 6
Agora, calculamos
:
Resposta
As derivadas parciais no mês considerado são:
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Calcule os limites :
Uma fábrica produz mensalmente
unidades de um produto A e
unidades de um produto B , sendo o lucro mensal da produção conjunta dado por:
Num certo mês foram produzidas 2.000 unidades de A e 1.000 unidades de B. O que é mais conveniente, a partir desta situação aumentar a produção de A mantendo constante a de
, ou aumentar a de B mantendo constante a de A? Justifique.
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados:
; ao redor de
Determine a relação que deve existir entre
e
para que a função
satisfaça a