Uma fábrica produz mensalmente unidades de um produto A e unidades de um produto B , sendo o lucro mensal da produção conjunta dado por:
Num certo mês foram produzidas 2.000 unidades de A e 1.000 unidades de B. Calcule e nesse mês;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma fábrica que produz dois produtos, A e B, com quantidades mensais de e respectivamente. O lucro mensal dessa produção conjunta é dado pela função:
Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas parciais, para descobrir como o lucro muda quando só aumentamos a produção de A ou de B. Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais e no mês em que foram produzidas 2.000 unidades de A e 1.000 de B.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Em funções de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a mostra como muda quando apenas muda, mantendo constante. A mesma ideia vale para a derivada parcial em relação a .

Passo 3

Vamos calcular . A função é:
A derivada parcial de em relação a é:
Como a constante 15.000 desaparece na derivada, ficamos com:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Usando a mesma função :
A constante 15.000 novamente some, e a derivada fica:

Passo 5

Agora que temos as expressões das derivadas parciais, vamos substituir os valores dados: e .
Primeiro, calculamos :

Passo 6

Agora, calculamos :

Resposta

As derivadas parciais no mês considerado são:

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Uma fábrica produz mensalmente unidades de um produto A e unidades de um produto B , sendo o lucro mensal da produção conjunta dado por:
Num certo mês foram produzidas 2.000 unidades de A e 1.000 unidades de B. O que é mais conveniente, a partir desta situação aumentar a produção de A mantendo constante a de , ou aumentar a de B mantendo constante a de A? Justifique.
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