Calcule os limites:
a) lim x pi [cos (x+pi2)+sen(pi2+x)]tg(x-pi4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando lim x pi [cos (x+pi2)+sen(pi2+x)]tg(x-pi4) se aproxima de da expressão:
Isso está ligado ao conteúdo de limites e identidades trigonométricas. Vamos precisar saber como simplificar funções trigonométricas usando as identidades certas para facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador da fração. Temos duas funções trigonométricas somadas:
Vamos usar as identidades de ângulos somados para simplificar:
  1. Cosseno de cos(x + pi2) + sen(x + pi2) :
    Essa identidade vem do fato de que o cosseno de um ângulo somado a cos(x + pi2) = -sen x é igual ao negativo do seno do ângulo.
  2. Seno de sen(x + pi2) = cos x :
    Similarmente, o seno de um ângulo somado a -sen x + cos x é igual ao cosseno do ângulo.
Então, substituindo essas identidades no numerador, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador:
tg(x - pi4)
Sabemos que a tangente de um ângulo é a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo:
Mas, para facilitar, vamos manter a expressão como tangente por enquanto e avaliar diretamente no limite.

Passo 4

Vamos agora montar novamente a expressão simplificada do limite:
Vamos substituir lim x pi -sen x + cos xtg(x - pi4) nas funções diretamente, desde que não gere uma forma indeterminada.
Primeiro, calculamos:
  • Seno de sen pi = 0 :
  • Cosseno de cos pi = -1 :
    tg(3pi4) = tan(3pi4) = -1
  • Tangente de -0 + (-1)-1 = -1-1 = 1 :
Então, substituindo:

Resposta

O limite é igual a .

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