Calcule os limites:
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de da expressão:
Isso está ligado ao conteúdo de limites e identidades trigonométricas. Vamos precisar saber como simplificar funções trigonométricas usando as identidades certas para facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador da fração. Temos duas funções trigonométricas somadas:
Vamos usar as identidades de ângulos somados para simplificar:
  1. Cosseno de :
    Essa identidade vem do fato de que o cosseno de um ângulo somado a é igual ao negativo do seno do ângulo.
  2. Seno de :
    Similarmente, o seno de um ângulo somado a é igual ao cosseno do ângulo.
Então, substituindo essas identidades no numerador, temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador:
Sabemos que a tangente de um ângulo é a razão entre o seno e o cosseno desse ângulo:
Mas, para facilitar, vamos manter a expressão como tangente por enquanto e avaliar diretamente no limite.

Passo 4

Vamos agora montar novamente a expressão simplificada do limite:
Vamos substituir nas funções diretamente, desde que não gere uma forma indeterminada.
Primeiro, calculamos:
  • Seno de :
  • Cosseno de :
  • Tangente de :
Então, substituindo:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites;
d)
Calcule os seguintes limites;
b)
Calcule os limites:
c)
Calcule os limites:
f)