Utilize o Teorema de Green para determinar a área limitada pela curva
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos usar o Teorema de Green para achar a área limitada pela curva
. Esse teorema é uma ferramenta que conecta integrais de linha ao redor de uma curva com integrais duplas sobre a região que essa curva envolve. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para calcular áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da curva. A equação dada é
. Vamos dividir ambos os lados por
para facilitar:
Simplificando, ficamos com:
Essa é a equação de uma elipse com semi-eixos
e
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como o Teorema de Green pode nos ajudar a encontrar a área. O teorema nos diz que:
Aqui,
é a curva fechada que, no nosso caso, é a elipse.
Passo 4
Vamos parametrizar a elipse para facilitar a integração. Uma parametrização comum para uma elipse é:
onde
varia de
a
.
Passo 5
Com a parametrização, precisamos encontrar
e
:
Passo 6
Substituindo
,
,
e
na fórmula da área:
Simplificando:
Passo 7
Fatorando
:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Integrando de
a
:
Resposta
A área limitada pela curva é
.
Exercícios relacionados
Calcule cada limite abaixo, caso exista. Se não existir, justifique.
(b)
(b)
Utilizando a definição, calcule a transformada de Laplace da função
Calcule os limites:
(e)
(e)
Sejam
e
. Verifique as identidades.
(a) .
(a)