Utilize o Teorema de Green para determinar a área limitada pela curva (b x)² + (a y)² = (a b)², com a * b > 0.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos usar o Teorema de Green para achar a área limitada pela curva . Esse teorema é uma ferramenta que conecta integrais de linha ao redor de uma curva com integrais duplas sobre a região que essa curva envolve. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da curva. A equação dada é . Vamos dividir ambos os lados por para facilitar:
Simplificando, ficamos com:
Essa é a equação de uma elipse com semi-eixos e .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como o Teorema de Green pode nos ajudar a encontrar a área. O teorema nos diz que:
Á
Aqui, é a curva fechada que, no nosso caso, é a elipse.

Passo 4

Vamos parametrizar a elipse para facilitar a integração. Uma parametrização comum para uma elipse é:
onde varia de a .

Passo 5

Com a parametrização, precisamos encontrar e :

Passo 6

Substituindo , , e na fórmula da área:
Á
Simplificando:
Á

Passo 7

Fatorando :
Á
Sabemos que , então:
Á

Passo 8

Integrando de a :
Á

Resposta

A área limitada pela curva é .

Exercícios relacionados