Calcule os limites: lim x -1 raiz3 x^2+4 x+2-1raizx^2+3 x+6-2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando lim x -1 raiz3 x^2+4 x+2-1raizx^2+3 x+6-2 se aproxima de -1 da expressão:
Estamos trabalhando com limites que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão para eliminar a indeterminação que surge quando substituímos diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece substituindo raiz3 (-1)^2 + 4 (-1) + 2 - 1 = raiz3(1) - 4 + 2 - 1 = raiz1 - 1 = 1 - 1 = 0 na expressão:
No numerador:
raiz(-1)^2 + 3 (-1) + 6 - 2 = raiz1 - 3 + 6 - 2 = raiz4 - 2 = 2 - 2 = 0
No denominador:
Obtemos uma indeterminação do tipo . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites que resultam em raiz3x^2+4x+2-1raizx^2+3x+6-2 times raiz3x^2+4x+2+1raiz3x^2+4x+2+1 é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado das expressões que contêm as raízes quadradas. Isso ajuda a eliminar as raízes e simplificar a expressão.
Vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é :

Passo 4

Multiplicando no numerador:
(raiz3x^2+4x+2-1)(raiz3x^2+4x+2+1) = (3x^2+4x+2) - 1 = 3x^2+4x+1
O denominador fica:
(raizx^2+3x+6-2)(raiz3x^2+4x+2+1)
Então, a expressão se torna:
3x^2+4x+1(raizx^2+3x+6-2)(raiz3x^2+4x+2+1)

Passo 5

Agora, vamos simplificar o denominador que ainda tem uma raiz quadrada e uma subtração. Vamos multiplicar o denominador e o numerador pelo conjugado do denominador, que é 3x^2+4x+1(raizx^2+3x+6-2)(raiz3x^2+4x+2+1) times raizx^2+3x+6+2raizx^2+3x+6+2 :

Passo 6

Multiplicando no denominador:
(raizx^2+3x+6-2)(raizx^2+3x+6+2) = (x^2+3x+6) - 4 = x^2+3x+2
A expressão agora é:
(3x^2+4x+1)(raizx^2+3x+6+2)(x^2+3x+2)(raiz3x^2+4x+2+1)

Passo 7

Vamos fatorar os polinômios no numerador e no denominador:
3x^2+4x+1 = (3x - 1)(x + 1)
x^2+3x+2 = (x + 1)(x + 2)
Substituindo na expressão:
(3x - 1)(x + 1)(raizx^2+3x+6+2)(x + 1)(x + 2)(raiz3x^2+4x+2+1)

Passo 8

Podemos cancelar o fator comum (3x - 1)(raizx^2+3x+6+2)(x + 2)(raiz3x^2+4x+2+1) do numerador e denominador:

Passo 9

Agora, substituímos 3(-1) - 1 = -3 - 1 = -4 na expressão simplificada:
Numerador:
raiz(-1)^2 + 3(-1) + 6 + 2 = raiz1 - 3 + 6 + 2 = raiz4 + 2 = 2 + 2 = 4
(-1) + 2 = 1
Denominador:
raiz3(-1)^2 + 4(-1) + 2 + 1 = raiz3(1) - 4 + 2 + 1 = raiz1 + 1 = 1 + 1 = 2
(-4)(4)(1)(2) = -162 = -8
Então, a expressão fica:

Resposta

O limite é .

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