Calcule os limites: lim x -2 raiz[3]2-3 x-21+raiz[3]2 x+3

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Aqui, estamos trabalhando com limites e funções envolvendo raízes cúbicas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz[3]2 - 3(-2) - 21 + raiz[3]2(-2) + 3 = raiz[3]2 + 6 - 21 + raiz[3]-4 + 3 = raiz[3]8 - 21 + raiz[3]-1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
2 - 21 + (-1) = 00
Sabemos que e , então:
Esse é um caso indeterminado, então precisamos de outra abordagem.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como ddx ( raiz[3]2 - 3x ) = 13(2 - 3x)^-2/3 cdot (-3) = - (2 - 3x)^-2/3 , podemos usar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador ddx ( raiz[3]2x + 3 ) = 13(2x + 3)^-2/3 cdot 2 = 23(2x + 3)^-2/3 :
Derivada do denominador :

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hospital, o limite original se transforma em:
limx to -2 - (2 - 3x)^-2/323(2x + 3)^-2/3 = limx to -2 -3 (2x + 3)^-2/32 (2 - 3x)^-2/3

Passo 5

Agora, substituímos 2x + 3 = 2(-2) + 3 = -4 + 3 = -1 na nova expressão:
2 - 3x = 2 - 3(-2) = 2 + 6 = 8
(-1)^-2/3 = 1
Então:
8^-2/3 = (8^1/3)^-2 = 2^-2 = 14
-3 cdot 12 cdot 14 = -324 = -312 = -3 times 2 = -6
Substituindo esses valores na expressão:

Resposta

limx to -2 raiz[3]2-3x - 21 + raiz[3]2x + 3 = -6

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