Callente as limites: lim x 0 raiz[3]x+1-1x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como expandir funções em séries e usar propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que acontece quando substituímos raiz[3]0+1-10 = 1 - 10 = 00 diretamente na expressão:
Esse resultado é uma forma indeterminada, ou seja, não sabemos qual é o limite apenas assim. Para resolver, precisamos simplificar a expressão de alguma maneira.

Passo 3

Uma técnica útil aqui é usar a expansão em série de Taylor para a função raiz[3]1 + x = 1 + 13x - 19x^2 + dots em torno de . A série de Taylor para é:
Como estamos fazendo o limite quando se aproxima de 0, podemos considerar apenas os primeiros termos dessa expansão para simplificar o cálculo.

Passo 4

Substituindo a expansão na expressão original:
raiz[3]x+1 - 1x = (1 + 13x - 19x^2 + dots) - 1x = 13x - 19x^2 + dotsx
Agora, dividimos cada termo do numerador por 13 - 19x + dots :
13
Quando tende a 0, os termos que contêm vão embora, restando apenas:

Resposta

Portanto, o limite é .

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