Callente as limites: lim x 0 raiz[3]8-2 x+x^2-2x-x^2

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver esse limite:
lim x 0 raiz[3]8-2 x+x^2-2x-x^2
Esse exercício está dentro do conteúdo de Limites, uma parte importante do cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções em pontos específicos. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões que dão formas indeterminadas, como , e aplicar uma técnica chamada Regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz[3]8 - 2 cdot 0 + 0^2 - 2 = raiz[3]8 - 2 = 2 - 2 = 0 diretamente na expressão para ver o que acontece:
No numerador:
0 - 0^2 = 0 - 0 = 0
No denominador:
Então, temos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos usar outra estratégia para calcular o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada f(x) = raiz[3]8 - 2x + x^2 = (8 - 2x + x^2)^1/3 , uma boa técnica é aplicar a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que, se temos um limite do tipo f'(x) = 13 (8 - 2x + x^2)^-2/3 cdot (-2 + 2x) , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
g(x) = x - x^2
Usando a regra da cadeia:
g'(x) = 1 - 2x
Derivada do denominador:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo as derivadas:
lim x 0 f'(x)g'(x) = lim x 0 13 (8 - 2x + x^2)^-2/3 cdot (-2 + 2x)1 - 2x
Vamos simplificar substituindo 13 (8 - 0 + 0)^-2/3 cdot (-2 + 0) = 13 cdot 8^-2/3 cdot (-2) :
13 cdot 14 cdot (-2) = -212 = -16
Sabemos que , então :

Resposta

lim x 0 raiz[3]8-2 x+x^2-2x-x^2 = -16

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