Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de limites na matemática, que faz parte do estudo de Cálculo. O enunciado pede para calcular o limite da seguinte função quando
se aproxima de 2:
Para resolver isso, vamos precisar entender como substituir valores, analisar o comportamento da função perto de
e entender o que acontece com o numerador e o denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente
na função para ver o que acontece:
No numerador:
Então:
No denominador:
Então, substituindo diretamente, a gente tem uma fração
, o que significa que o denominador está se aproximando de zero. Isso nos indica que o limite tende para o infinito ou para menos infinito, dependendo dos sinais.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2) e pela direita (valores maiores que 2).
Aprox. pela esquerda (
):
- Denominador: Vejamos o que acontece com
quando está um pouco abaixo de 2.
Para
pequeno e positivo, isso fica aproximadamente
, que é negativo. Então, o denominador está se aproximando de zero pelo lado negativo.
- Numerador: Já vimos que o numerador se aproxima de aproximadamente
, que é negativo.
Aprox. pela direita (
):
- Denominador: Agora, com
um pouco acima de 2:
Aqui, para
pequeno e positivo, fica aproximadamente
, que é positivo. Ou seja, o denominador está se aproximando de zero pelo lado positivo.
- Numerador: Continua se aproximando de
, que é negativo.
Passo 4
Agora, vamos ver o que isso significa para o limite:
- Pela esquerda (
):
- Pela direita (
):
Mas, olhando mais de perto, percebemos que tanto pela esquerda quanto pela direita, o numerador está se aproximando de um valor negativo grande (mais precisamente, uma constante negativa), enquanto o denominador está se aproximando de zero. No entanto, o comportamento do denominador indica que ambos os lados apontam para o infinito positivo.
Passo 5
Porém, considerando a análise feita, na verdade, o limite não é infinito. Houve um pequeno equívoco na interpretação anterior. Vamos corrigir:
- Pela esquerda (
):
- Pela direita (
):
Como os limites laterais não coincidem (um tende a
e o outro a
), isso indica que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe, pois os valores tendem a
pela esquerda e
pela direita.
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Determine o volume do sólido dado: Abaixo do plano
e acima da região limitada por
.
Mostre que a série seguinte é divergente:
Dica: É uma série telescópica.