Calcule os limites:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de limites na matemática, que faz parte do estudo de Cálculo. O enunciado pede para calcular o limite da seguinte função quando se aproxima de 2:
Para resolver isso, vamos precisar entender como substituir valores, analisar o comportamento da função perto de e entender o que acontece com o numerador e o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na função para ver o que acontece:
No numerador:
Então:
No denominador:
Então, substituindo diretamente, a gente tem uma fração , o que significa que o denominador está se aproximando de zero. Isso nos indica que o limite tende para o infinito ou para menos infinito, dependendo dos sinais.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2) e pela direita (valores maiores que 2).
Aprox. pela esquerda ( ):
  • Denominador: Vejamos o que acontece com quando está um pouco abaixo de 2.
Para pequeno e positivo, isso fica aproximadamente , que é negativo. Então, o denominador está se aproximando de zero pelo lado negativo.
  • Numerador: Já vimos que o numerador se aproxima de aproximadamente , que é negativo.
Aprox. pela direita ( ):
  • Denominador: Agora, com um pouco acima de 2:
Aqui, para pequeno e positivo, fica aproximadamente , que é positivo. Ou seja, o denominador está se aproximando de zero pelo lado positivo.
  • Numerador: Continua se aproximando de , que é negativo.

Passo 4

Agora, vamos ver o que isso significa para o limite:
  • Pela esquerda ( ):
  • Pela direita ( ):
Mas, olhando mais de perto, percebemos que tanto pela esquerda quanto pela direita, o numerador está se aproximando de um valor negativo grande (mais precisamente, uma constante negativa), enquanto o denominador está se aproximando de zero. No entanto, o comportamento do denominador indica que ambos os lados apontam para o infinito positivo.

Passo 5

Porém, considerando a análise feita, na verdade, o limite não é infinito. Houve um pequeno equívoco na interpretação anterior. Vamos corrigir:
  • Pela esquerda ( ):
  • Pela direita ( ):
Como os limites laterais não coincidem (um tende a e o outro a ), isso indica que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois os valores tendem a pela esquerda e pela direita.

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Determine o volume do sólido dado: Abaixo do plano e acima da região limitada por .
Mostre que a série seguinte é divergente:
Dica: É uma série telescópica.