Calcule os limites: lim x 1 raiz3 x^2-5 x+6-2raiz[3]x^2-3 x+1+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que você enviou:
lim x 1 raiz3 x^2-5 x+6-2raiz[3]x^2-3 x+1+1
Aqui, estamos lidando com limites em matemática, especificamente com funções envolvendo raízes quadradas e cúbicas. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que é super útil quando a substituição direta de resulta em uma forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir raiz3(1)^2 - 5(1) + 6 - 2 = raiz3 - 5 + 6 - 2 = raiz4 - 2 = 2 - 2 = 0 na expressão para ver o que acontece:
No numerador:
raiz[3](1)^2 - 3(1) + 1 + 1 = raiz[3]1 - 3 + 1 + 1 = raiz[3]-1 + 1 = -1 + 1 = 0
No denominador:
Então, temos uma forma indeterminada . Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se você tem um limite do tipo ddx ( raiz3x^2 - 5x + 6 - 2 ) = 12raiz3x^2 - 5x + 6 cdot (6x - 5) ou ddx ( raiz[3]x^2 - 3x + 1 + 1 ) = 13(x^2 - 3x + 1)^-23 cdot (2x - 3) , você pode derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:

Passo 4

Agora, substituímos 6(1) - 52raiz3(1)^2 - 5(1) + 6 = 6 - 52raiz4 = 12 cdot 2 = 14 nas derivadas:
Derivada do Numerador:
2(1) - 33(1^2 - 3(1) + 1)^23 = 2 - 33(-1)^23 = -13 cdot 1 = -13
Derivada do Denominador:

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
lim x 1 14-13 = 14 div ( -13 ) = 14 times ( -3 ) = -34

Resposta

lim x 1 raiz3 x^2-5 x+6-2raiz[3]x^2-3 x+1+1 = -34

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