(a) O que significa dizer que uma série é absolutamente convergente?
(b) O que significa dizer que uma série é condicionalmente convergente?
© Se a série de termos positivos sumn=1^infty bn converge, o que você pode afirmar sobre a série sumn=1^infty(-1)^n bn ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou fala sobre séries e como elas podem convergir de maneiras diferentes. A gente vai precisar entender o que é uma série absolutamente convergente, condicionalmente convergente e também como séries com termos positivos se comportam quando alternam os sinais. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

(a) O que significa dizer que uma série é absolutamente convergente?

Primeiro, uma série é uma soma infinita de termos, tipo sumn=1^infty an. Dizemos que essa série é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Ou seja, se sumn=1^infty |an| converge, então a série original sumn=1^infty an é absolutamente convergente.
Isso é importante porque se uma série é absolutamente convergente, ela converge independentemente da ordem dos termos, o que não acontece com outras séries.

Passo 3

(b) O que significa dizer que uma série é condicionalmente convergente?

Agora, uma série é condicionalmente convergente quando ela converge, mas a série dos valores absolutos não converge. Em outras palavras, sumn=1^infty an converge, mas sumn=1^infty |an| não converge.
Isso significa que a série original depende da ordem dos sinais dos termos para convergir. Se você mudar a ordem dos termos, a série pode até mesmo divergir.

Passo 4

© Se a série de termos positivos sumn=1^infty bn converge, o que você pode afirmar sobre a série sumn=1^infty(-1)^n bn?

Dado que sumn=1^infty bn é uma série de termos positivos que converge, podemos afirmar algo sobre a série alternada sumn=1^infty(-1)^n bn.
Porque a série original sumn=1^infty bn converge e todos os bn são positivos, sabemos que a série alternada sumn=1^infty(-1)^n bn também vai convergir. Na verdade, ela será absolutamente convergente, já que a série dos valores absolutos sumn=1^infty |(-1)^n bn| = sumn=1^infty bn já converge.

Resposta

(a) Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos seus termos converge, ou seja, se sumn=1^infty |an| converge.
(b) Uma série é condicionalmente convergente se ela converge, mas a série dos valores absolutos dos seus termos não converge, ou seja, se sumn=1^infty an converge e sumn=1^infty |an| não converge.
© Se a série de termos positivos sumn=1^infty bn converge, então a série alternada sumn=1^infty(-1)^n bn também converge absolutamente.

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