(a) O que significa dizer que uma série é absolutamente convergente?
(b) O que significa dizer que uma série é condicionalmente convergente?
© Se a série de termos positivos converge, o que você pode afirmar sobre a série ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou fala sobre séries e como elas podem convergir de maneiras diferentes. A gente vai precisar entender o que é uma série absolutamente convergente, condicionalmente convergente e também como séries com termos positivos se comportam quando alternam os sinais. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

(a) O que significa dizer que uma série é absolutamente convergente?

Primeiro, uma série é uma soma infinita de termos, tipo . Dizemos que essa série é absolutamente convergente se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Ou seja, se converge, então a série original é absolutamente convergente.
Isso é importante porque se uma série é absolutamente convergente, ela converge independentemente da ordem dos termos, o que não acontece com outras séries.

Passo 3

(b) O que significa dizer que uma série é condicionalmente convergente?

Agora, uma série é condicionalmente convergente quando ela converge, mas a série dos valores absolutos não converge. Em outras palavras, converge, mas não converge.
Isso significa que a série original depende da ordem dos sinais dos termos para convergir. Se você mudar a ordem dos termos, a série pode até mesmo divergir.

Passo 4

© Se a série de termos positivos converge, o que você pode afirmar sobre a série ?

Dado que é uma série de termos positivos que converge, podemos afirmar algo sobre a série alternada .
Porque a série original converge e todos os são positivos, sabemos que a série alternada também vai convergir. Na verdade, ela será absolutamente convergente, já que a série dos valores absolutos já converge.

Resposta

(a) Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos seus termos converge, ou seja, se converge.
(b) Uma série é condicionalmente convergente se ela converge, mas a série dos valores absolutos dos seus termos não converge, ou seja, se converge e não converge.
© Se a série de termos positivos converge, então a série alternada também converge absolutamente.

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Calcule em coordenadas polares.
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(b)