Calcule os limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo de Limites, que faz parte do estudo de Cálculo Diferencial. Vamos precisar entender como simplificar expressões envolvendo raízes e aplicar técnicas para encontrar o limite quando se aproxima de 2.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir diretamente na expressão para ver o que acontece:
Aí, a gente se depara com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente. Começando pelo numerador:
Sabemos que pode ser reescrito usando a identidade de diferença de cubos:
Aplicando isso ao numerador:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador original:
Usamos uma técnica similar, multiplicando e dividindo pelo conjugado para eliminar a raiz:

Passo 5

Agora, substituímos as simplificações de numerador e denominador na expressão original:
Aqui, os termos se cancelam:

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite substituindo :
Primeiro, calculamos quando :
Então, e .
Substituindo na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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