Calcule os limites: lim x 2 raiz[3]5 x-2-2raizx-1-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo de Limites, que faz parte do estudo de Cálculo Diferencial. Vamos precisar entender como simplificar expressões envolvendo raízes e aplicar técnicas para encontrar o limite quando se aproxima de 2.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir raiz[3]5(2) - 2 - 2raiz2 - 1 - 1 = raiz[3]10 - 2 - 2raiz1 - 1 = raiz[3]8 - 21 - 1 = 2 - 20 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Aí, a gente se depara com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente. Começando pelo numerador:
raiz[3]5x - 2 - 2
Sabemos que raiz[3]a - b = a - b^3raiz[3]a^2 + raiz[3]ab + b^2 pode ser reescrito usando a identidade de diferença de cubos:
raiz[3]5x - 2 - 2 = 5x - 2 - 8raiz[3](5x - 2)^2 + raiz[3]5x - 2 cdot 2 + 2^2 = 5x - 10raiz[3](5x - 2)^2 + 2raiz[3]5x - 2 + 4
Aplicando isso ao numerador:
5(x - 2)raiz[3](5x - 2)^2 + 2raiz[3]5x - 2 + 4
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador original:
raizx - 1 - 1
Usamos uma técnica similar, multiplicando e dividindo pelo conjugado para eliminar a raiz:
raizx - 1 - 1 = (x - 1) - 1raizx - 1 + 1 = x - 2raizx - 1 + 1

Passo 5

Agora, substituímos as simplificações de numerador e denominador na expressão original:
5(x - 2)raiz[3](5x - 2)^2 + 2raiz[3]5x - 2 + 4x - 2raizx - 1 + 1 = 5(x - 2)raiz[3](5x - 2)^2 + 2raiz[3]5x - 2 + 4 cdot raizx - 1 + 1x - 2
Aqui, os termos 5raiz[3](5x - 2)^2 + 2raiz[3]5x - 2 + 4 cdot (raizx - 1 + 1) se cancelam:

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite substituindo 5(2) - 2 = 10 - 2 = 8 :
Primeiro, calculamos 52^2 + 2(2) + 4 cdot (1 + 1) = 54 + 4 + 4 cdot 2 = 512 cdot 2 = 1012 = 56 quando :
Então, e .
Substituindo na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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