Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo de Limites, que faz parte do estudo de Cálculo Diferencial. Vamos precisar entender como simplificar expressões envolvendo raízes e aplicar técnicas para encontrar o limite quando
se aproxima de 2.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Aí, a gente se depara com uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente. Começando pelo numerador:
Sabemos que
pode ser reescrito usando a identidade de diferença de cubos:
Aplicando isso ao numerador:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o denominador original:
Usamos uma técnica similar, multiplicando e dividindo pelo conjugado para eliminar a raiz:
Passo 5
Agora, substituímos as simplificações de numerador e denominador na expressão original:
Aqui, os termos
se cancelam:
Passo 6
Agora, podemos calcular o limite substituindo
:
Primeiro, calculamos
quando
:
Então,
e
.
Substituindo na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.
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Calcule os limites:
Mostre que a série seguinte é divergente:
Dica: É uma série telescópica.
Calcule os limites:
(a) O que significa dizer que uma série é absolutamente convergente?
(b) O que significa dizer que uma série é condicionalmente convergente?
© Se a série de termos positivos converge, o que você pode afirmar sobre a série
?
(b) O que significa dizer que uma série é condicionalmente convergente?
© Se a série de termos positivos