A fim de calcular a integral a seguir por coordenadas polares onde D é a região limitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y :
integral duplaD e^-x^2-y^2 d A
Calcule integral duplaD e^-x^2-y^2 d A em coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. Primeiro, o enunciado nos diz que é a região limitada pelo semicírculo e o eixo . Isso significa que estamos trabalhando com uma metade de um círculo de raio 2, pois se rearranjarmos a equação , ela representa a parte positiva do eixo de um círculo de raio 2. Para resolver essa integral em coordenadas polares, vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para polares e também ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como converter a integral para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos theta e y = r sin theta
Além disso, o elemento de área integral duplaD e^-r^2 cdot r , dr , dtheta em coordenadas polares se transforma em . Então, nossa integral dupla se torna:
Aqui, usamos porque .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para e . Como estamos lidando com um semicírculo de raio 2 no lado positivo do eixo , o raio varia de 0 a 2. Para o ângulo , que mede a direção a partir do eixo positivo , cobrimos de a para cobrir o semicírculo.

Passo 4

Com os limites definidos, nossa integral fica:
integral-pi2^pi2 integral0^2 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta
Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro.

Passo 5

A integral interna é:
integral0^2 e^-r^2 cdot r , dr
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples: deixe -12 integral0^-4 e^u , du = 12 integral-4^0 e^u , du = 12 [ e^u ]-4^0 = 12 (e^0 - e^-4) = 12 (1 - e^-4) , então , ou seja, . Então, a integral se transforma em:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral-pi2^pi2 12 (1 - e^-4) , dtheta = 12 (1 - e^-4) integral-pi2^pi2 dtheta
A integral de de a é simplesmente .

Passo 7

Portanto, temos:
12 (1 - e^-4) cdot pi = pi2 (1 - e^-4)

Resposta

A integral em coordenadas polares é igual a .

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