A fim de calcular a integral a seguir por coordenadas polares onde é a região limitada pelo semicírculo e o eixo :
Calcule em coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. Primeiro, o enunciado nos diz que é a região limitada pelo semicírculo e o eixo . Isso significa que estamos trabalhando com uma metade de um círculo de raio 2, pois se rearranjarmos a equação , ela representa a parte positiva do eixo de um círculo de raio 2. Para resolver essa integral em coordenadas polares, vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para polares e também ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como converter a integral para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares se transforma em . Então, nossa integral dupla se torna:
Aqui, usamos porque .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para e . Como estamos lidando com um semicírculo de raio 2 no lado positivo do eixo , o raio varia de 0 a 2. Para o ângulo , que mede a direção a partir do eixo positivo , cobrimos de a para cobrir o semicírculo.

Passo 4

Com os limites definidos, nossa integral fica:
Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro.

Passo 5

A integral interna é:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples: deixe , então , ou seja, . Então, a integral se transforma em:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
A integral de de a é simplesmente .

Passo 7

Portanto, temos:

Resposta

A integral em coordenadas polares é igual a .

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