A fim de calcular a integral a seguir por coordenadas polares onde
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
:
Calcule
em coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
usando coordenadas polares. Primeiro, o enunciado nos diz que
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
. Isso significa que estamos trabalhando com uma metade de um círculo de raio 2, pois se rearranjarmos a equação
, ela representa a parte positiva do eixo
de um círculo de raio 2. Para resolver essa integral em coordenadas polares, vamos precisar converter as coordenadas cartesianas
para polares
e também ajustar os limites de integração de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como converter a integral para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares se transforma em
. Então, nossa integral dupla se torna:
Aqui, usamos
porque
.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração para
e
. Como estamos lidando com um semicírculo de raio 2 no lado positivo do eixo
, o raio
varia de 0 a 2. Para o ângulo
, que mede a direção a partir do eixo positivo
, cobrimos de
a
para cobrir o semicírculo.
Passo 4
Com os limites definidos, nossa integral fica:
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro.
Passo 5
A integral interna é:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples: deixe
, então
, ou seja,
. Então, a integral se transforma em:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
A integral de
de
a
é simplesmente
.
Passo 7
Portanto, temos:
Resposta
A integral
em coordenadas polares é igual a
.
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(b)
(b)
(a) Explique a diferença entre