Determine o volume do sólido dado: Abaixo do plano
e acima da região limitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo do plano
e acima da região limitada pelas curvas
e
. Vamos usar cálculo de integrais múltiplas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. Temos duas funções:
-
(parece que tem um erro de digitação, mas vamos considerar assim) -
Vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se encontram para saber os limites de integração.
Passo 3
Igualamos as duas funções para achar os pontos de interseção:
Isso nos dá:
Então,
ou
. Assim,
.
Passo 4
Agora sabemos que a integração vai de
até
. Para cada
,
varia de
até
.
Passo 5
Precisamos expressar
em termos de
e
. Do plano
, temos:
O volume é a integral dupla de
sobre a área definida.
Passo 6
Montamos a integral dupla para o volume:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Substituindo os limites:
Passo 8
Agora, integramos essa expressão em relação a
:
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo
:
Passo 9
Simplificando os termos:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Dica: É uma série telescópica.
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