Determine o volume do sólido dado: Abaixo do plano e acima da região limitada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está abaixo do plano e acima da região limitada pelas curvas e . Vamos usar cálculo de integrais múltiplas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. Temos duas funções:
  • (parece que tem um erro de digitação, mas vamos considerar assim)
Vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se encontram para saber os limites de integração.

Passo 3

Igualamos as duas funções para achar os pontos de interseção:
Isso nos dá:
Então, ou . Assim, .

Passo 4

Agora sabemos que a integração vai de até . Para cada , varia de até .

Passo 5

Precisamos expressar em termos de e . Do plano , temos:
O volume é a integral dupla de sobre a área definida.

Passo 6

Montamos a integral dupla para o volume:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Substituindo os limites:

Passo 8

Agora, integramos essa expressão em relação a :
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Substituindo :

Passo 9

Simplificando os termos:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Dica: É uma série telescópica.
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