Mostre que a série seguinte é divergente:
Dica: É uma série telescópica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que a série
é divergente. Isso está ligado ao conteúdo de séries infinitas e, mais especificamente, a séries telescópicas. Vamos precisar entender como somar termos que se cancelam parcialmente para ver se a soma total cresce sem limite.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Sabemos que
, então podemos tentar reescrever esse termo de uma forma que facilite a soma.
Passo 3
Vamos perceber que
. Isso porque
.
Passo 4
Agora, sabemos que
. Isso transforma cada termo da série em uma diferença de logaritmos.
Passo 5
Substituindo isso na série original, temos:
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar quando somarmos.
Passo 6
Vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:
A maioria dos termos internos se cancela, restando apenas
.
Passo 7
Simplificando, obtemos:
Então, a soma dos
primeiros termos é
.
Passo 8
Para verificar a convergência, vemos o comportamento de
quando
vai para o infinito. Sabemos que
cresce sem limite conforme
aumenta.
Passo 9
Como a soma dos termos da série cresce indefinidamente, concluímos que a série é divergente.
Resposta
A série
é divergente.
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Determine o volume do sólido dado: Abaixo do plano
e acima da região limitada por
.
Calcule os limites:
Calcule os limites:
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