Mostre que a série seguinte é divergente:
sumn=1^infty ln (1+1n)
Dica: É uma série telescópica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente mostrar que a série é divergente. Isso está ligado ao conteúdo de séries infinitas e, mais especificamente, a séries telescópicas. Vamos precisar entender como somar termos que se cancelam parcialmente para ver se a soma total cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: . Sabemos que , então podemos tentar reescrever esse termo de uma forma que facilite a soma.

Passo 3

Vamos perceber que . Isso porque .

Passo 4

Agora, sabemos que . Isso transforma cada termo da série em uma diferença de logaritmos.

Passo 5

Substituindo isso na série original, temos:
sumn=1^infty [ ln(n+1) - ln(n) ]
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar quando somarmos.

Passo 6

Vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:
A maioria dos termos internos se cancela, restando apenas (ln2 - ln1) + (ln3 - ln2) + (ln4 - ln3) + dots + (ln(n+1) - lnn) .

Passo 7

Simplificando, obtemos:
ln(n+1) - 0 = ln(n+1)
Então, a soma dos primeiros termos é .

Passo 8

Para verificar a convergência, vemos o comportamento de quando vai para o infinito. Sabemos que cresce sem limite conforme aumenta.

Passo 9

Como a soma dos termos da série cresce indefinidamente, concluímos que a série é divergente.

Resposta

A série é divergente.

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