Calcule os limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções de raiz quadrada e cúbica. A gente vai usar conceitos de cálculo, especificamente limites e a regra de L’Hospital, que é bem útil quando a gente encontra uma indeterminação no processo. O objetivo aqui é descobrir o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver o que acontece:
Aqui, a gente se depara com uma forma indeterminada . Quando isso acontece, uma técnica muito útil é a Regra de L’Hospital, que nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital. Isso significa que vamos derivar o numerador e o denominador em relação a e depois calcular o limite dessa nova fração.
Primeiro, vamos derivar o numerador :
Agora, vamos derivar o denominador :

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas na expressão do limite:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos substituir nessa nova expressão:
Sabemos que e (porque e a raiz cúbica de 1 é 1):

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Encontre todas as soluções da seguinte EDO não linear separável (bem como a região de validade de cada solução):
Dada a equação paramétrica :
a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva; (1,0 ponto)
Considere o problema de valor inicial
© Determine a solução que satisfaz a condição inicial.
Considere o problema de valor inicial
(a) Explique por que a EDO é exata.