Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções de raiz quadrada e cúbica. A gente vai usar conceitos de cálculo, especificamente limites e a regra de L’Hospital, que é bem útil quando a gente encontra uma indeterminação no processo. O objetivo aqui é descobrir o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Aqui, a gente se depara com uma forma indeterminada
. Quando isso acontece, uma técnica muito útil é a Regra de L’Hospital, que nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de L’Hospital. Isso significa que vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
e depois calcular o limite dessa nova fração.
Primeiro, vamos derivar o numerador
:
Agora, vamos derivar o denominador
:
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas na expressão do limite:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos substituir
nessa nova expressão:
Sabemos que
e
(porque
e a raiz cúbica de 1 é 1):
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Encontre todas as soluções da seguinte EDO não linear separável (bem como a região de validade de cada solução):
Dada a equação paramétrica
:
a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva; (1,0 ponto)
a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva; (1,0 ponto)
Considere o problema de valor inicial
© Determine a solução
que satisfaz a condição inicial.
Considere o problema de valor inicial
(a) Explique por que a EDO é exata.