Calcule os limites: lim x 1 raiz5 x+4-3raiz[3]x-2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve funções de raiz quadrada e cúbica. A gente vai usar conceitos de cálculo, especificamente limites e a regra de L’Hospital, que é bem útil quando a gente encontra uma indeterminação no processo. O objetivo aqui é descobrir o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz5(1)+4 - 3raiz[3]1-2 + 1 = raiz9 - 3raiz[3]-1 + 1 = 3 - 3-1 + 1 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Aqui, a gente se depara com uma forma indeterminada . Quando isso acontece, uma técnica muito útil é a Regra de L’Hospital, que nos permite calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital. Isso significa que vamos derivar o numerador e o denominador em relação a ddx ( raiz5x + 4 - 3 ) = 52raiz5x + 4 e depois calcular o limite dessa nova fração.
Primeiro, vamos derivar o numerador ddx ( raiz[3]x - 2 + 1 ) = 13(x - 2)^2/3 :
Agora, vamos derivar o denominador :

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas na expressão do limite:
lim x 1 52raiz5x + 413(x - 2)^2/3 = lim x 1 52raiz5x + 4 times 3(x - 2)^2/3
Simplificando:
lim x 1 152raiz5x + 4 times (x - 2)^2/3

Passo 5

Agora, vamos substituir 152raiz5(1) + 4 times (1 - 2)^2/3 = 152raiz9 times (-1)^2/3 nessa nova expressão:
152 times 3 times 1 = 156 = 52
Sabemos que e (porque e a raiz cúbica de 1 é 1):

Resposta

O limite é .

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