Encontre todas as soluções da seguinte EDO não linear separável (bem como a região de validade de cada solução):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) não linear do tipo:
Nosso objetivo é encontrar todas as soluções dessa equação e entender em quais regiões essas soluções são válidas. Para resolver isso, vamos usar métodos de resolução de EDOs não lineares, especificamente a Equação de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para identificar o método que vamos usar. Dividindo todos os termos por
(assumindo que
), temos:
Essa forma nos mostra que a equação é uma Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Para resolver uma Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Definimos:
Isso significa que:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original, começamos a transformar a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Note que
e
, então:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em
:
Para resolver isso, vamos usar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Escrevendo o lado esquerdo como derivada de
:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Mas lembrando que
, então:
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
Todas as soluções da EDO são dadas por:
onde
é uma constante arbitrária. A região de validade dessa solução é definida para
tal que
, ou seja,
. Além disso,
devido à divisão inicial por
.
Exercícios relacionados
Dada a equação paramétrica
:
a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva; (1,0 ponto)
a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva; (1,0 ponto)
Calcule o trabalho realizado pela força conservativa
nos seguintes deslocamentos:
Ao longo da elipse , no sentido anti-horário, do ponto
a
;
Ao longo da elipse
Calcule os limites:
Considere o problema de valor inicial
© Determine a solução
que satisfaz a condição inicial.