Encontre todas as soluções da seguinte EDO não linear separável (bem como a região de validade de cada solução):

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) não linear do tipo:
Nosso objetivo é encontrar todas as soluções dessa equação e entender em quais regiões essas soluções são válidas. Para resolver isso, vamos usar métodos de resolução de EDOs não lineares, especificamente a Equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para identificar o método que vamos usar. Dividindo todos os termos por (assumindo que ), temos:
Essa forma nos mostra que a equação é uma Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, , e .

Passo 3

Para resolver uma Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Definimos:
Isso significa que:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo e na equação original, começamos a transformar a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Note que e , então:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em :
Para resolver isso, vamos usar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Escrevendo o lado esquerdo como derivada de :

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para :
Mas lembrando que , então:
Finalmente, resolvemos para :

Resposta

Todas as soluções da EDO são dadas por:
onde é uma constante arbitrária. A região de validade dessa solução é definida para tal que , ou seja, . Além disso, devido à divisão inicial por .

Exercícios relacionados

Dada a equação paramétrica :
a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva; (1,0 ponto)
Calcule o trabalho realizado pela força conservativa nos seguintes deslocamentos:
Ao longo da elipse , no sentido anti-horário, do ponto a ;
Calcule os limites:
Considere o problema de valor inicial
© Determine a solução que satisfaz a condição inicial.