Considere o problema de valor inicial
2xy - 9x^2 + (2y + x^2 + 1) dy/dx = 0, y(0) = -3
(a) Explique por que a EDO é exata.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo problema de valor inicial:
O que precisamos fazer aqui é explicar por que essa EDO é exata. Isso significa que a equação pode ser reescrita de forma que seja derivada de uma função potencial, facilitando sua resolução.

Passo 2

Vamos começar identificando as partes da EDO que correspondem a e . A EDO está na forma:
Comparando com nossa equação:

Passo 3

Agora, para verificar se a EDO é exata, usamos a condição de exatidão. Uma EDO é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a :
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 4

Calculando :
Calculando :

Resposta

Como é igual a , a EDO dada é exata.

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