Considere o problema de valor inicial
(a) Explique por que a EDO é exata.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo problema de valor inicial:
O que precisamos fazer aqui é explicar por que essa EDO é exata. Isso significa que a equação pode ser reescrita de forma que seja derivada de uma função potencial, facilitando sua resolução.
Passo 2
Vamos começar identificando as partes da EDO que correspondem a
e
. A EDO está na forma:
Comparando com nossa equação:
Passo 3
Agora, para verificar se a EDO é exata, usamos a condição de exatidão. Uma EDO é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
Como
é igual a
, a EDO dada é exata.
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(b) Encontre a função potencial
.