Considere o problema de valor inicial
© Determine a solução
que satisfaz a condição inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial que relaciona
com
e uma condição inicial
. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar entender como manipular a equação para chegar em
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar
isolado. A equação original é:
Podemos mover os termos que não têm
para o outro lado:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Observamos que a equação é separável ou pode ser manipulada para isso. Mas, olhando melhor, percebemos que essa equação pode ser rearranjada para uma forma linear em
. Vamos tentar isso.
Vamos reescrever a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Vamos tentar simplificar ou buscar uma substituição que facilite a resolução.
Passo 4
Vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Observamos que
aparece no denominador. Vamos definir:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão da derivada de
:
Sabemos que:
Substituindo na expressão de
:
Vamos simplificar essa expressão:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação:
Expandindo o lado direito:
Simplificando os termos:
Então, a equação fica:
Passo 7
Observamos que a equação agora está em termos de
e
. Podemos reescrever:
Mas como
, substituindo:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, nossa equação está separável. Podemos integrar ambos os lados:
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Passo 9
Igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 10
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 11
Voltando à equação com o valor de
:
Vamos resolver para
:
Primeiro, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Isolamos
:
Finalmente, dividimos por 2:
Resposta
A solução que satisfaz a condição inicial é:
Exercícios relacionados
Calcule os limites:
Encontre todas as soluções da seguinte EDO não linear separável (bem como a região de validade de cada solução):
Considere o problema de valor inicial
(a) Explique por que a EDO é exata.
Verificação de excentricid.
graduacao.unisuam.edu.br/mod/assign/view.php?id=941676
3UAM
Avaliação Formadora III
Considere a hipérbole de equação reduzida:
graduacao.unisuam.edu.br/mod/assign/view.php?id=941676
3UAM
Avaliação Formadora III
Considere a hipérbole de equação reduzida:
Determine:
(a) O centro da hipérbole.
(a) O centro da hipérbole.