Considere o problema de valor inicial
© Determine a solução que satisfaz a condição inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial que relaciona com e uma condição inicial . A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar entender como manipular a equação para chegar em .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar isolado. A equação original é:
Podemos mover os termos que não têm para o outro lado:
Agora, isolamos :

Passo 3

Observamos que a equação é separável ou pode ser manipulada para isso. Mas, olhando melhor, percebemos que essa equação pode ser rearranjada para uma forma linear em . Vamos tentar isso.
Vamos reescrever a equação:
Dividindo ambos os lados por :
Vamos tentar simplificar ou buscar uma substituição que facilite a resolução.

Passo 4

Vamos tentar uma substituição para simplificar a equação. Observamos que aparece no denominador. Vamos definir:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos na expressão da derivada de :
Sabemos que:
Substituindo na expressão de :
Vamos simplificar essa expressão:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 6

Agora, substituímos na equação:
Expandindo o lado direito:
Simplificando os termos:
Então, a equação fica:

Passo 7

Observamos que a equação agora está em termos de e . Podemos reescrever:
Mas como , substituindo:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Agora, nossa equação está separável. Podemos integrar ambos os lados:
Integrando o lado esquerdo:
E o lado direito:

Passo 9

Igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 10

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo e :
Simplificando:

Passo 11

Voltando à equação com o valor de :
Vamos resolver para :
Primeiro, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Isolamos :
Finalmente, dividimos por 2:

Resposta

A solução que satisfaz a condição inicial é:

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