Calcule os limites: lim x 4 raizx-2x^2-16

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite: . Nosso objetivo é descobrir qual valor essa expressão se aproxima quando chega perto de 4. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites e algumas manhas de álgebra, como simplificação de expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz4 - 24^2 - 16 = 2 - 216 - 16 = 00 por 4 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Ué, deu , que é uma forma indeterminada. Isso quer dizer que precisamos fazer mais trabalho para encontrar o limite.

Passo 3

Quando a gente se depara com raizx - 2x^2 - 16 times raizx + 2raizx + 2 = (raizx - 2)(raizx + 2)(x^2 - 16)(raizx + 2) , uma técnica útil é racionalizar o numerador. Isso significa que vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de é .
Então, vamos multiplicar a expressão por :

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador. A expressão (raizx)^2 - (2)^2 = x - 4 é uma diferença de quadrados, que resulta em:
x - 4(x^2 - 16)(raizx + 2)
Então, nossa expressão fica:

Passo 5

Observe que o denominador x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) também é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada como:
x - 4(x - 4)(x + 4)(raizx + 2)
Substituindo isso na expressão, temos:

Passo 6

Agora, a gente pode simplificar o termo cancelx - 4cancelx - 4(x + 4)(raizx + 2) = 1(x + 4)(raizx + 2) que está no numerador e no denominador:

Passo 7

Com a expressão simplificada, podemos agora calcular o limite substituindo 1(4 + 4)(raiz4 + 2) = 18 times (2 + 2) = 18 times 4 = 132 por 4:

Resposta

O limite é .

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