Calcule os limites: lim x 3 x^2-7 x+12x^3-6 x-9

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite quando se aproxima de 3 para a expressão . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo, mais especificamente o estudo de limites. Para resolver isso, vamos precisar fatorar tanto o numerador quanto o denominador para simplificar a fração.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 3^2 - 7 cdot 3 + 123^3 - 6 cdot 3 - 9 = 9 - 21 + 1227 - 18 - 9 = 00 diretamente na expressão:
Esse resultado é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos começar fatorando o numerador x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) . Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão 12 e somados dão -7. Esses números são -3 e -4. Então, podemos escrever:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador x^3 - 6x - 9 = (x - 3)(x^2 + 3x + 3) . Sabemos que é uma raiz porque, substituindo, obtemos 0. Então, é um fator. Usando divisão polinomial ou sintética, dividimos por e obtemos:

Passo 5

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, podemos simplificar a expressão:
(x - 3)(x - 4)(x - 3)(x^2 + 3x + 3) = x - 4x^2 + 3x + 3
Observamos que o cancela, desde que , o que está de acordo com o limite.

Passo 6

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo limx 3 x - 4x^2 + 3x + 3 = 3 - 43^2 + 3 cdot 3 + 3 = -19 + 9 + 3 = -121 :

Resposta

limx 3 x^2 - 7x + 12x^3 - 6x - 9 = -121

Exercícios relacionados

Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
r = 1 - 4 cos(t) / 5.
Considere a função f: IR R, definida por
f(x)=lll4-x, & se & 02
Calcule os limites laterais à direita e à esquerda de f nos pontos x=0 e x=2;
Calcule os limites: lim x 4 raizx-2x^2-16
Considere a função f: IR R, definida por
f(x)=lll4-x, & se & 02
Existem lim x 0 f(x) e lim x 2 f(x) ? Justifique a sua resposta;