Considere a função , definida por
Existem lim x 0 f(x) e lim x 2 f(x) ? Justifique a sua resposta;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = 4 - x, & se 0 < x <= 2 -x^2 + 4, & se x <= 0 1x, & se x > 2
A pergunta é: existem os limites e ? Vamos precisar entender o que são limites e como calcular limites de funções definidas por partes.
Passo 2
Vamos começar com . Para calcular esse limite, precisamos olhar para os valores de quando se aproxima de 0 pela direita () e pela esquerda (). Se esses dois limites laterais forem iguais, então o limite geral existe e é igual a esse valor.
Passo 3
Primeiro, calculamos o limite pela direita ( limx 0^+ f(x) = limx 0^+ (4 - x) = 4 - 0 = 4 ). Nesse intervalo, , então usamos :
Passo 4
Agora, calculamos o limite pela esquerda ( limx 0^- f(x) = limx 0^- (-x^2 + 4) = -0 + 4 = 4 ). Nesse intervalo, , então usamos :
Passo 5
Como ambos os limites laterais são iguais ( limx 0 f(x) = 4 ), concluímos que:
Passo 6
Agora, vamos verificar . Novamente, precisamos calcular os limites pela direita () e pela esquerda ().
Passo 7
Pela esquerda ( limx 2^- f(x) = limx 2^- (4 - x) = 4 - 2 = 2 ), o intervalo é , então usamos :
Passo 8
Pela direita ( limx 2^+ f(x) = limx 2^+ 1x = 12 ), o intervalo é , então usamos :
Passo 9
Os limites laterais são diferentes ( pela esquerda e pela direita), portanto, o limite geral não existe.