Considere a função f: IR R, definida por
f(x)=lll4-x, & se & 02
Existem lim x 0 f(x) e lim x 2 f(x) ? Justifique a sua resposta;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = 4 - x, & se 0 < x <= 2 -x^2 + 4, & se x <= 0 1x, & se x > 2
A pergunta é: existem os limites e ? Vamos precisar entender o que são limites e como calcular limites de funções definidas por partes.

Passo 2

Vamos começar com . Para calcular esse limite, precisamos olhar para os valores de quando se aproxima de 0 pela direita ( ) e pela esquerda ( ). Se esses dois limites laterais forem iguais, então o limite geral existe e é igual a esse valor.

Passo 3

Primeiro, calculamos o limite pela direita ( limx 0^+ f(x) = limx 0^+ (4 - x) = 4 - 0 = 4 ). Nesse intervalo, , então usamos :

Passo 4

Agora, calculamos o limite pela esquerda ( limx 0^- f(x) = limx 0^- (-x^2 + 4) = -0 + 4 = 4 ). Nesse intervalo, , então usamos :

Passo 5

Como ambos os limites laterais são iguais ( limx 0 f(x) = 4 ), concluímos que:

Passo 6

Agora, vamos verificar . Novamente, precisamos calcular os limites pela direita ( ) e pela esquerda ( ).

Passo 7

Pela esquerda ( limx 2^- f(x) = limx 2^- (4 - x) = 4 - 2 = 2 ), o intervalo é , então usamos :

Passo 8

Pela direita ( limx 2^+ f(x) = limx 2^+ 1x = 12 ), o intervalo é , então usamos :

Passo 9

Os limites laterais são diferentes ( pela esquerda e pela direita), portanto, o limite geral não existe.

Resposta

limx 0 f(x) = 4 e limx 2 f(x) não existe ã

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