Considere a função
definida por
.
a) Calcule o gradiente de
no ponto
.
b) Determine a derivada direcional de
no ponto
na direção de
.
a) Calcule o gradiente de
b) Determine a derivada direcional de
Passo 1
Beleza, galera! Temos aqui uma função
. A pergunta é dividida em duas partes: primeiro, calcular o gradiente dessa função no ponto (0,0), e segundo, encontrar a derivada direcional nesse ponto na direção do gradiente de
no ponto (1,0). Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que é o gradiente de uma função.
Passo 2
Vamos começar calculando o gradiente de
no ponto (0,0). O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja, para
, temos:
Então, vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Explicando: usamos a regra da cadeia para derivar
em relação a
, que dá
. As demais parcelas são derivadas normalmente.
Passo 4
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Aqui também usamos a regra da cadeia para derivar
em relação a
, resultando em
. A derivada de
em relação a
é
, e a última parte
não depende de
, então sua derivada é 0.
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto (0,0). Substituindo
e
nas derivadas que encontramos:
Portanto, o gradiente no ponto (0,0) é:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar a derivada direcional de
no ponto (0,0) na direção de
. Primeiro, precisamos calcular
.
Vamos calcular as derivadas parciais em (1,0):
Então,
Passo 7
A derivada direcional de
no ponto (0,0) na direção de um vetor
é dada por:
Primeiro, precisamos normalizar o vetor
para obter a direção
:
Passo 8
Agora, calculamos a derivada direcional:
Resposta
a) O gradiente de
no ponto (0,0) é
.
b) A derivada direcional de
no ponto (0,0) na direção de
é
.
Exercícios relacionados
Seja a função
, calcule a imagem dos pontos abaixo;
c)
c)
Determinar o domínio e descrever os mesmo das funções;
c)
c)
1
Seja
(a) Você acha que ou
?
(b) Some uma série geométrica para encontrar o valor de .
Seja
(a) Você acha que
(b) Some uma série geométrica para encontrar o valor de
Calcule os limites: