Considere a função definida por .
a) Calcule o gradiente de no ponto .
b) Determine a derivada direcional de no ponto na direção de .

Passo 1

Beleza, galera! Temos aqui uma função . A pergunta é dividida em duas partes: primeiro, calcular o gradiente dessa função no ponto (0,0), e segundo, encontrar a derivada direcional nesse ponto na direção do gradiente de no ponto (1,0). Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que é o gradiente de uma função.

Passo 2

Vamos começar calculando o gradiente de no ponto (0,0). O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. Ou seja, para , temos:
Então, vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Explicando: usamos a regra da cadeia para derivar em relação a , que dá . As demais parcelas são derivadas normalmente.

Passo 4

Agora, a derivada parcial de em relação a :
Aqui também usamos a regra da cadeia para derivar em relação a , resultando em . A derivada de em relação a é , e a última parte não depende de , então sua derivada é 0.

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto (0,0). Substituindo e nas derivadas que encontramos:
Portanto, o gradiente no ponto (0,0) é:

Passo 6

Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar a derivada direcional de no ponto (0,0) na direção de . Primeiro, precisamos calcular .
Vamos calcular as derivadas parciais em (1,0):
Então,

Passo 7

A derivada direcional de no ponto (0,0) na direção de um vetor é dada por:
Primeiro, precisamos normalizar o vetor para obter a direção :

Passo 8

Agora, calculamos a derivada direcional:

Resposta

a) O gradiente de no ponto (0,0) é .
b) A derivada direcional de no ponto (0,0) na direção de é .

Exercícios relacionados

Seja a função , calcule a imagem dos pontos abaixo;
c)
Determinar o domínio e descrever os mesmo das funções;
c)
1
Seja
(a) Você acha que ou ?
(b) Some uma série geométrica para encontrar o valor de .
Calcule os limites: