Sabendo que 1-x^26, para todos os valores de x próximos a zero, calcule
lim x 0 x cdot sen(x)2-2 cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
lim x 0 x cdot sen(x)2-2 cos (x)
Estamos trabalhando com limites e trigonometria, usando desigualdades para aplicar o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto). Vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de zero para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, observe que temos a desigualdade:
1 - x^26 < x cdot sen(x)2 - 2 cos(x) < 1
Isso significa que nosso limite está “apertado” entre duas funções que sabemos como se comportam quando se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites das duas extremas da desigualdade quando limx to 0 (1 - x^26) = 1 - 0 = 1 tende a zero.
Para a expressão da esquerda:
limx to 0 1 = 1
Para a expressão da direita:
Ambas as expressões limitam para 1 quando se aproxima de zero.

Passo 4

Como temos:
1 - x^26 < x cdot sen(x)2 - 2 cos(x) < 1
E sabemos que as duas extremas tendem a 1, pelo Teorema do Sandwich, o limite do meio também deve ser 1.

Resposta

O limite é igual a .

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