Sabendo que , para todos os valores de próximos a zero, calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
Estamos trabalhando com limites e trigonometria, usando desigualdades para aplicar o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto). Vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de zero para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, observe que temos a desigualdade:
Isso significa que nosso limite está “apertado” entre duas funções que sabemos como se comportam quando se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites das duas extremas da desigualdade quando tende a zero.
Para a expressão da esquerda:
Para a expressão da direita:
Ambas as expressões limitam para 1 quando se aproxima de zero.

Passo 4

Como temos:
E sabemos que as duas extremas tendem a 1, pelo Teorema do Sandwich, o limite do meio também deve ser 1.

Resposta

O limite é igual a .

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Use a definição de limites para mostrar que: .
Demonstre as seguintes igualdades trigonométricas: ;
Calcule os seguintes limites: , em que .
Calcule os limites: