Sabendo que
, para todos os valores de
próximos a zero, calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos:
Estamos trabalhando com limites e trigonometria, usando desigualdades para aplicar o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto). Vamos precisar entender como essas funções se comportam perto de zero para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, observe que temos a desigualdade:
Isso significa que nosso limite está “apertado” entre duas funções que sabemos como se comportam quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites das duas extremas da desigualdade quando
tende a zero.
Para a expressão da esquerda:
Para a expressão da direita:
Ambas as expressões limitam para 1 quando
se aproxima de zero.
Passo 4
Como temos:
E sabemos que as duas extremas tendem a 1, pelo Teorema do Sandwich, o limite do meio também deve ser 1.
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Use a definição de limites para mostrar que:
.
Demonstre as seguintes igualdades trigonométricas:
;
Calcule os seguintes limites:
, em que
.
Calcule os limites: